线性变换（2）——特征值与特征向量

前情提要：

， 是 的一个基，则

是子空间在（1）下的矩阵为对角阵

 特征值与特征向量

---

1.定义： ，若 ，则称为的一个特征值,为的属于特征值的一个特征向量

 例一：

一定有特征值k，中任一非零向量都是属于k的特征向量           

例二：

无特征值

2.性质：

1）一个特征向量只属于一个特征值，一个特征值可对于无穷多个特征向量

2） 为的特征值，可逆，则为 的特征值

3）为的特征值， ， 为 的一个特征值

4）生成一维子空间是的特征向量

5） 是 子空间

 

---

特征值与特征向量的求法

1. 在下的矩阵A
2. 求特征方程 的解，即求得的特征值
3. 解齐次线性方程组 的解空间的一个基，即解得 的属于特征值的一个特征向量在(1)的坐标，即得的属于的全部特征向量

例1:

 求的特征值和特征向量

的一个基：

基础解系（1,0,...,0）

特征向量为1

全体特征向量为k（属于0），其中k为F中任意的非零数

ex1. 已知 为 的一个基

在(1)下的矩阵为

求的特征值和特征向量

---