整除、公约数、同余与剩余系
从本文开始，我们将正式开始介绍有关初等数论的相关知识与概念，我们争取用通俗的语言去把握和描述理论的精髓所在。而不拘泥于具体概念的束缚，以窥探初等数论巧妙的一些思想方法。从这里开始你的行囊里不需要太多的东西，只要会整数的加减乘除即可。东西多了不仅帮不了你，反而会成为前进的负担。你需要首先抛开一切固有思维，清空大脑，带着孩童般的好奇心重新认识这个世界。由于数论经常出现于奥数和智力题中，它往往被当成一种锻炼思维的智力游戏，但随着研究的深入，我们需要建立一套理论才能看清本质。我们可以从最简单的定义出发，利用理性思维建立这些理论。但通过做题与不断地思考是学习数论的必经途径，这样才能有更深刻的理解，这一部分笔者不能代劳，这里只能力图尽力而为，将其中的思想和方法展现在各位面前。
1. 整除
数论研究整数本身（或自然数，语境自明），初等数论主要研究整数之间的关系。整数的运算中，加减是最平凡的，得不出什么深入的结论，从而乘除法是唯一可以着手的地方。考虑一个简单的等式 ma=b（以后若不作特殊说明，所有符号表示整数），任何两个整数之间都可以有像 m,a 这样的乘法运算，但却并不是所有整数都有等式中类似a与b这样的关系。为此，当 a≠0 时，定义满足等式的 a 能整除 b，或b被a整除，a称为b的约数，b称为a的倍数，记作a∣b，否则记为a∤b。
仅从定义出发可以得到整除的许多基本性质，这里就不一一列举了，只给出一个最具代表性的：式子（1），即 a 的倍数的线性组合仍是 a 的倍数。整数集线性组合的这一性质体现了元素之间的共性，后面还会继续深究，这里先举一例来感受其意义。若a∣n,b∣n，则有 ab∣nb,ab∣na，进而有 ab∣n(ax+by)，所以如果有 ax+by=1，则有 ab∣n。
考虑n的所有倍数的集合 kn，它的元素有无穷多个，且性质是平凡的，不多阐述。现在来考虑 n 的所有约数，显然它们是有限的，但我们似乎还得不出更多的结论。不妨先考察一类特殊的数：如果 p>1 除了±1和±p外没有其它约数，p称为质数或素数，反之叫合数，今后我们会约定俗成地用 p, q 表示素数。直观上素数是不能再分解的数，它们是整数的基本因子，任何整数都可以通过有限步分解为素数的乘积。
一个自然的问题是，这样的分解唯一吗？你固有的知识可能使你对这个问题相当地自信，但如果冷静思考地一番，就会发现这种自信其实是没有根据的。它的证明并不十分显然，这里通过反证法来推导。假设有某些 整数的素数分解不唯一，则存在最小的这样的数，并设它有两个分解式a=p1p2⋯pn=q1q2⋯qm，其中m,n>1，并且素数按大小排列。由a的最小性知pi≠qj，假设p1>q1，考察式（2）。容易证明后一分解式中不含q1，从而b
现在来看数a的所有约数，容易知道它们的分解式必定是式子（4）。若记a共有个约数，且它们的和为，则有公式（5）（6）。
这里可以尝试来思考如下几个问题：
• 求满足 的最小整数；
• 求的值。
2. 公约数
有了算术基本定理，整数之间的倍数关系就基本清楚了。而对于两个任意的整数（不一定有倍数关系），只能通过它们共同的约数或倍数来取得联系。两个数a,b共同的约数称为它们的公约数，最大的那个叫最大公约数，记作(a,b)，类似还有公倍数和最小公倍数 [a,b]的概念，最大公约数为1的两个数称为互素或既约的。这些概念都有一些比较简单的性质，可以通过算术基本定理去证明，后面会罗列。公约（倍）数为研究整数之间的关系提供了便利，但它们的定义并不依赖于算术基本定理，你完全可以仅从定义出发得到那些常用结论，算术基本定理只是提供了一种方法而已。
公约数一定程度上体现了整数之间的相关程度，互素则表现了整数之间的无关性。这个观念为我们分析整数集的结构提供了一个好的思想，不大于m的所有数可以按照和m的相关程度分类，这个话题我们会在后面展开。现在来考虑一下与 m 无关的（互素）数的个数 φ(m)（欧拉函数），对素数 p 显然有 和 ，利用容斥原理排除掉不互素的数之后可以得到公式（7）。
关于这个计算式的证明可参见：欧拉函数的计算式
算术基本定理虽然很强大，但用它来求公约数或进行整数关系分析的代价太大，并且也很难得到进一步的结论，这时必须引入别的工具。在不做素数分解的情况下，分析整数关系最直观的方法就是带余除法，对任意整数 a≠0, b，存在唯一数对 m, r 满足式子（8）。由 知 a,b 的公约数必定是 r 的约数，并且 r 更小。如果继续对 a, r 做这样的运算，我们一定可以得到a,b的最大公约数。这便是辗转相除法的基本思想，早在欧几里得的《几何原本》中就有记载（故又称Euclid算法），熟悉算法的你一定也不陌生，这里就不展开细节了。
带余除法为整数的分析提供了一个简单有效的方法。比如我们再回头考虑一下式（1）中的所有线性组合，首先(b1,b2,⋯,bn)显然也是每个线性组合的约数。考察线性组合中的最小正数 c，如果它不是 bk 的约数，使用带余除法 也是线性组合但却更小。所以c是b1,b2,⋯,bn的公约数，结合刚才的结论可知c=(b1,b2,⋯,bn)。
最大公约数可以看做是整数间的一个基本代数运算，我们已经看到有很多不同的途径来得到它，而这些途径并不依赖于最大公约数的定义。这就让我们想到，其实可以将它们看成是最大公约数的等价定义，在不同的场合灵活使用，可以得到更简洁的方法。以下便列举了这些等价定义，你可以尝试证明它们的等价性。
（1）原始定义：最大的公约数；
（2）约数的公倍数：是所有公约数的最小公倍数；
（3）素数基本定理：素数分解式的公共部分；
（4）线性组合：线性组合的最小正数；
（5）辗转相除法：辗转相除法得到的最小正数。
作为一个基本运算，需要稍微研究一下最大公约数的基本性质，你可以尝试通过不同途径证明下面的基本性质：
（1）
（2）
（3）若，则有
（4）若则
（5）若则
（6）
公约数虽然定义简单，但却变化多端，当和其它知识结合起来时，问题会变得很困难。你需要熟练掌握初等数学中各种变形技巧，并需要足够的想象力和创造力。必要的练习是最好的锻炼场所，你不能绕过那一步，如下只列几例供参考。
• 已知求证
• a为奇数，则必有使得设这样数最小为，则成立的充要条件是
• 证明梅森（Mersenne）数 两两互素；
• 求证 不是整数；（提示：构造一个整数与之相乘后不为整数）
• 若(a,b)=1，则对任意 中有无数个与m互质的数。（提示：无穷递降）
3、关于素数分布
话说素数的确非常重要，后面我们还会看到它更多的性质，这里再多说两句。首先，欧几里得在《几何原本》回答了素数的个数问题，假设仅有有限个素数 ，考察表达式 。它不以任何 为约数，从而它也是素数，与假设矛盾，这就证明了素数有无穷多个。该证明使用了构造法和反证法，它的美妙是数学史上惊艳的一笔，你不妨可以用同样的方法解决以下问题。
• 相邻素数之间的间隔可以有任意大；
• 证明费马数 的素因子互不相同，从而素数有无穷多个；
• 使用数列 ，证明素数有无穷多个；
• 求证形如 的素数有无穷多个；
• 如果 则n必为素数。
根据算术基本原理，并使用级数理论，容易有以下著名的欧拉公式（式子（9））。这个神奇的公式将调和级数与所有素数扯上了关系，这也成为了研究素数的一个突破口，巍峨耸立的黎曼猜想就是对它的扩展研究。顺便提一句，因为调和级数是发散的，故由此此也可以证明素数有无穷多个。
关于素数，还有一些自然的问题是：如何判定一个数是否为素数？如何找出一定范围内的所有素数？它们的分布是怎样的？是否有素数的通项公式？这些问题是很难回答的，它们也是数论的难点，很多问题都还没有被解决。古希腊时期的Eratosthenes筛法是目前仍在使用的筛选素数的方法，它逐步划去每个素数的倍数，从而仅余下素数，这在一般的算法教材里都有介绍。另外一般用 π(x) 表示不大于x的素数的个数，公式（10）是就是著名的素数定理，它表明了素数的平均密度。该定理最早由勒让德和高斯作为猜想提出，将近一百年后才被人用复变函数的理论所证明，再过了50年才有了初等证法。关于素数的问题我们就不深究了，它们也不是这里能回答得了的。
4、同余
公约数是我们要讨论的主要整数关系，对整数m而言，其它整数与它的关系以 m 为周期出现着重复，具体讲就是任何整数和带余除法中的余数是等价的。为此我们可以在整数中建立另一种等价关系，如果 即 ，则称 a, b 在模 m 下同余 或 a 同余于 b 模 m, b 是 a 对模 m 的剩余，记做 ，该关系式称为模 m 的同余式。比较容易证明同余关系是一个等价关系，它将整数限定在一个有限的空间里，大大方便了讨论。同余理论由高斯提出，它是数论的基础语言。由于同余继承自整除的概念，它的性质一般还是用整除来证明，但作为一个强大的语言，它有着自己简洁清晰的特点。以下是一些同余的基础性质，各位可以自行证明或者查看网络资料，这些都是较常用的基本性质（重要）：
（1）若，则有 和；
（2）若，则；
（3） 等价于
（4）若 ，则 ；
（5） 等价于 。
性质（1）比较平凡，（2）（3）是对操作数进行缩放时的性质，（3）中包含了两种极端情况 d∣m 和(d,m)=1 的性质。（4）（5）是对模数进行缩放时的性质，性质（5）可以将问题互相转化，把大模数分解为几个小模数，或者反过来将多个等式合并为一个。性质（2）中没有除法，那是因为“倒数”还没有被定义。当(a,m)=1时，使用线性组合的定义容易证明，一定存在d使得 ， 称为a的逆。有了逆就可以两边同时“除以”一个数了，但需要注意逆仅对与模互素的数存在。
既然同余是个等价关系，那它的等价类就可以看做是一个整体，所有满足 的整数组成的集合称为一个剩余类，记作，模m的所有剩余类组成的集合记作 。当 (r,m)=1 时，即与 m 互素的数 r ， 又称为既约剩余类，模m的所有既约剩余类的个数显然共有 φ(m) 个，φ(m) 又称为欧拉函数。在一个只有加减乘除的同余式里，任何数都可以等价地看成它的同余类，故以上性质对同余类也是成立的。同余类中同样可以定义逆，容易证明逆存在则必是唯一的，且有 。
下面有一个思考题，你可以尝试利用同余的性质来解决：
• 求 的末两位数。
5、剩余系
主要区分上面在同余理论下的剩余类与我们这里要讨论的剩余系。
虽然剩余类和它的元素是等价的，但元素本身更容易被直接讨论。于是从每个剩余类中取一个元素组成的集合称为一个完全剩余系，它的定义是：一组数 称为模 m 的完全剩余系，如果对任意的 a 有且仅有一个 是 a 对模 m 的剩余，即 a 同余于 模 m 。同时还应注意类似 称为模 m 的最小非负（完全）剩余系； 为绝对最小（完全）剩余系； 最大非正（完全）剩余系。
相应地还有既约剩余系的概念。定义是：一组数 称为模 m 的既约（互素）剩余系，如果,以及对任意的 a, (a, m)=1, 有且仅有一个 是 a 对模 m 的剩余，即 a 同余于 模 m 。剩余系的元素可以根据需求来选取，而且它们有以下基本性质(关于具体证明可参考推荐书籍) :
（1）若是一个完全剩余系，则对任何整数c，仍然是一个完全剩余系；
（2）若是一个完全（既约）剩余系，且，则仍然是一个完全（既约）剩余系。
性质（2）告诉我们，如果是n的既约剩余系，且，则也是既约剩余系。那它们的乘积应该是模n同余的，即式子（1），这样就得到了著名的欧拉定理（公式（2））。取n为素数 p 时，则又有了费马小定理（公式（3））。欧拉定理给出了一个求元素逆的方法，即。另外，欧拉定理还给出了既约剩余系的元素与“单位元”的关系，这里是我们首次讨论既约剩余系元素之间的关系，后面还会继续研究。
简单考虑一个的习题：
• 求m的 最小正既约剩余系的所有元素之和。
剩余系的提出，最终还是为了研究同余意义下的整数空间，在这里就是要弄清完全（既约）剩余系的结构。既然整数 m 可以进行素数分解，想必把模m的剩余系按其素数分解分割会是个不错的想法。具体来说，对于 m 的互质分解 ，我们想看到的是 m 的剩余系和 的剩余系之间的关系。
先从简单的看起，参考进制数的方法并考察，其中是 的完全剩余系，是 的完全剩余系。容易证明当遍历的完全剩余系，则遍历m的完全剩余系。使用归纳法可以将这个结论推广到 的情形，但由于其形式不对称，推广的结论并无太大理论价值。由于，可知将上式中的换成结论任然成立。
另外，当遍历的既约剩余系时，首先由刚才的结论， 两两不同余，其次也容易证明它们与 m 互素。综合起来我们就有结论：当 遍历的既约剩余系时， 正好遍历m的既约剩余系。使用对应的证明方法（两类剩余系方法不同），这个结论可以轻易地推广到的情景，甚至为每一项再乘上任意与 互素的数，结论任然成立。即当 两两互素，且有，则当遍历的完全（既约）剩余系时，表达式（4）和（5）都正好遍历 m 的完全（既约）剩余系。
表达式中的 就像 x 的坐标一样，剩余系被分解到了个互相独立的维度，各个维度可以被单独地研究。值得提醒的是，以上表达式的每一项其实刚好是 的剩余系，它们可以相加得到m的剩余系。有一个自然的问题是，有没有表示为乘法的表达式，同样满足这样的要求呢？结合前面结论，容易构造出公式（6）中的分解（的意义同上），它的每一项是 的剩余系，各项相乘后是m的剩余系。有趣的是，表达式中各项之和任然遍历完全剩余系，而这对既约剩余系是不成立的（见下面练习）。
尝试解决以下问题：
• 求13的一个完全剩余系，满足和；
• 若 是m的既约剩余系，则对任何满足的整数，都不可能是既约剩余系。
• 不可能有 的既约剩余系 ，使得和都是m的既约剩余系；
以上分解方法从另一方面给出了欧拉函数的性质：如果，则。利用这个性质可以得到公式（7），另外，这个公式还可以这样解释：将 按照与n的最大公约数d划分为不同的集合，容易知道每个集合有个元素，所以共有个元素，这样就得到公式（8）。换句话说，一个完全剩余系被划分成了若干个既约剩余系，不得不说是一个很新颖的划分方法。
剩余系分解的一个典型应用就是解一次同余方程组，下篇我们会专门研究同余方程，这里只介绍这类方程组（式子（9）的左侧）。当两两互素时，根据前面的分解定理可知，在模下方程有且仅有一解。该结论历史上称为孙子定理（又称中国剩余定理），因为《孙子算经》中“物不知数”的问题其实就是一次同余方程组。
以上定理限定两两互素，且x系数为1，对于不满足条件的方程组，可以通过前面的结论进行等价变换。其中 意义同上, 是对模的逆。即 。关于中国剩余定理其实还有很多中方法求解，更多解法，可参见，中国剩余定理的五种解法
你可以尝试如下练习：
• 求解“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
• 求的7一个完全剩余系，每个数模2,3,5的余数都是1；
• 解方程；
• 解方程组
虽然我们还没有完全弄清既约剩余系的结构，但还是可以再做一些有趣的讨论的。既约剩余系中的任何数都有逆，尝试将它们两两配对，所有这样的数的乘积为 1，如果再将那些逆为自身的数单独研究，也许可以得到既约剩余系的整体性质。先从模 p 看起，对逆为自身的数有 ，从而，满足条件的只有两个数 ±1。这样便有了著名的威尔逊（Wilson）定理（公式（10）），它给出了既约剩余系积的整体性质。
以上讨论过程对奇素数的幂仍然成立，对独立讨论也可知模为 1,2,4 时结果为 −1，其它模的结果为 1。对一般的模，考虑公式（6）表示的既约剩余系的积，因为除了外都有，故除了模为外都有。总结以上可以有威尔逊定理的扩展定理：模为（p为奇素数）的既约剩余系的乘积模m余为 −1，其它形式模的既约剩余数之积模m余为1。这个既约剩余系的整体性质在一些问题中很有作用，你可以尝试者解决以下问题：
• 若和是奇素数p的两个完全剩余系，证明一定不是完全剩余系。再证明该结论对任意模m也成立；
• 求证。
以上证明中的配对思想非常重要，请考虑以下问题：
• 求证存在的充要条件是，并由此证明格式为，的素数有无穷多个。