高中奥数 2021-08-23

2021-08-23-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P021 习题01）

是一个三角形.一个过、的圆交边、于点、,、交于点,、交于点.求证:的充要条件是.

证明

图1

如图,因为、、、四点共圆,所以,.

又、、交于点,由塞瓦定理有.

因此,.

2021-08-23-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P021 习题02）

、、分别是的三边、、的中点,、、在的边上,且满足、、分别平分的周长.证明:、、交于同一点.

证明

图2

如图,不妨设,,,且.

由、、为三边中点,有

,

故.

同理,,.

所以,因此,、、交于同一点.

2021-08-23-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P021 习题03）

已知直线上的三个定点依次为、、,为过、且圆心不在上的圆.分别过、两点且与圆相切的直线交于点,与圆交于点.证明:的平分线与的交点不依赖于圆的选取.

证明

图3

如图,假设的平分线交于点,交圆于点,其中与是不同的两点.

因为是等腰三角形,所以,.

同理,在中,.

在中,视为其塞瓦点.由角元塞瓦定理,有.

因为,,则.

.

因此,点不依赖于圆的选取.