高中奥数 2021-10-11

2021-10-11-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角法 P064 例1）

(四边形的余弦定理)设凸四边形对角线交于点,,求证:.

证明

如图,设、、、的长分别为、、、,则有

图1

,

,

,

.

前两式之和减去后两式之和,得

.

2021-10-11-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角法 P064 例2）

如图,给定凸四边形,,是平面上的动点,令.

图2

(1)求证:当达到最小值时,、、、四点共圆;

(2)设是外接圆的上一点,满足:,,又、是圆的线,,求的最小值.(2008年全国高中数学联赛)

证明

(1)证:由托勒密不等式,对平面上的任意点,有

.

因此.

因为上面不等式当且仅当、、、顺次共圆时取等号,因此当且仅当在的外接圆且在上时,.

又因,此不等式当且仅当、、共线且在上时取等号.

因此当且仅当为的外接圆与的交点时,取最小值.

故当达最小值时,、、、四点共圆.

(2)记,则,由正弦定理有

,

从而

,

即

,

所以

,

整理得

,

解得

或(舍去),

故

,.

由已知

,有

,

即

,

整理得

,

故

,

可得

,

从而,,为等腰直角三角形.

因,则.

又也是等腰直角三角形,故,,.

故

.