网格计数

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$\mathcal{D}escription$
一个$n\ast m$的网格,问有多少对从$\left(1,1\right)$出发到$\left(n,m\right)$路径满足没有交点
$T$组询问,$T\le 5\times 10^5,n,m\le 10^6$
$\mathcal{S}olution$
如图,要求没有交点,所以实际上问的是以蓝色/红色为起点,到各自终点且没有交点的路径对
考虑容斥,即所有的路径对数减去不合法的路径对数

我们画一对有交点的路径对

我们把其最后一个交点的路径交换

发现,所有的有交点的路径都唯一对应一种从蓝色/红色走到另外一种颜色的终点的方案
照上述算方案容斥即可
计算方案则考虑要往右$n$次,往上$m$次,则有$\left(\begin{array}{c}n+m\\ n\end{array}\right)$种方案
故最终答案就是,先令$n=n-2,m=m-2$,即要往右/往上的次数
$ans={\left(\begin{array}{c}n+m\\ n\end{array}\right)}^2-\left(\begin{array}{c}n+m\\ n-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n+m\\ n+1\end{array}\right)$

$\mathcal{C}ode$

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年10月21日 星期一 09时50分11秒
*******************************/
#include 
#include 
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 2000006;
const int lim = 2000000;
const int mod = 998244353;
//{{{cin
struct IO{
	template<typename T>
	IO & operator>>(T&res){
		res=0;
		bool flag=false;
		char ch;
		while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')	flag|=ch=='-';
		while(ch>='0'&&ch<='9')	res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
		if (flag)	res=~res+1;
		return *this;
	}
}cin;
//}}}
int T,n,m;
int fac[maxn],inv[maxn],ifac[maxn];
int C (int n,int m){	return 1ll*fac[n]*ifac[n-m]%mod*ifac[m]%mod;}
int main()
{
	fac[0]=ifac[0]=inv[1]=1;
	for (int i=2;i<=lim;++i)	inv[i]=(-1ll*mod/i*inv[mod%i]%mod+mod)%mod;
	for (int i=1;i<=lim;++i)	fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%mod;
	cin>>T;
	while (T--){
		cin>>n>>m;
		n-=2,m-=2;
		printf("%d\n",(1ll*C(n+m,n)*C(n+m,n)%mod-1ll*C(n+m,n-1)*C(n+m,n+1)%mod+mod)%mod);
	}
	return 0;
}

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