浅谈扩展欧几里得定理(附裴蜀定理)

                                关于扩展欧几里得定理

  众所周知,扩展欧几里得定理是用来求形如ax+by=c(a,b,c皆为整数)这样的方程的一组解[注,仅是一组解]的定理

  它的原理比较复杂,本人学了挺久才懂了一点,这里就不谈了,扩欧的核心是它的思想,它的思想可以用来解决许多题

 该方程有解的条件 :

   要使ax+by=c(a,b,c皆为整数) 有解,我们设k=gcd(a,b),可以将原方程写成\frac{a}{k}kx+\frac{b}{k}ky=c的形式

   即k(\frac{a}{k}x+\frac{b}{k}y)=c

    \because   a,b,c均为整数

 \therefore   (\frac{a}{k}x+\frac{b}{k}y)一定是整数即k(\frac{a}{k}x+\frac{b}{k}y)一定是k的倍数

    \therefore   k|c 即 gcd(a,b)|c          //  k|c数学里为  c%k=0

    由此可见,该方程有解的条件为c%gcd(a,b)=0

  求解方法 :

    由于是求解ax+by=c的一组解,在方程有解的条件下,我们可以考虑先求出ax+by=gcd(a,b)的一组解,

    为什么这样考虑呢,这样子变化有什么好处呢?当我们将原方程转变为这样的方程之后,实际上我们求出的x与y并不是

    原方程的解,我们可以理解为转变后的方程的解为x'与y',实际上该ax+by=gcd(a,b)方程是将原方程除以

    c/gcd(a,b)后所得到的,所以原方程的解为

    \left\{\begin{matrix} x=x'(c/gcd(a,b))& & \\ y=y'(c/gcd(a,b))& & \end{matrix}\right.

    那么我们先求出ax+by=gcd(a,b)

    原方程的解便只需乘以c/gcd(a,b)就能得到了

    另外说明,c=gcd(a,b)是原方程有解的最小情况,利用这个性质,裴蜀定理也就不难写出来了

    那么该如何求解ax+by=gcd(a,b)呢?

    众所周知(又是这个词,词穷)   gcd的写法return b==0?a:gcd(b,a%b);(为了节约篇幅强行压缩)关键的一步就是

    gcd(a,b)==gcd(b,a%b)了,这个的成立性就不证明了,我们求解ax+by=gcd(a,b)是需要利用到gcd的这个特性的

    我们可以得到这样一个方程

  \left\{\begin{matrix} & ax+by=gcd(a,b) & \\ & gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b) & \end{matrix}\right.(这里的%显示不出来就用mod代替了)

    然后我们将gcd(b,a%b)中的b和a代入原方程

    那么可以得到gcd(b,a%b) = bx+(a%b)y,注意,此时的x与y也不是原方程的解,也可以理解为x',y'这样子我们就可以得到

    ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)=bx'+(a\ mod\ b)y'

 (这里是将gcd(a,b)的a,b反代入原方程),又因为电脑中的取模运算a%b是等价于a-a/b*b的

    所以我们又可以将最后一个方程变成bx'+(a-a/b*b)y',然后与第一个方程放在一起便有

    \dpi{150} ax+by=bx'+(a-a/b*b)y'

    然后拆项移项,变成

    ax+by=ay'+b(x'-a/by')

   最后便能得出这样的转移方程

    \left\{\begin{matrix} x=y' & \\ y=x'-a/by' & \end{matrix}\right.

   有了这样的转移方程,那么我们可以递归地写出代码了,递归结束条件就是b==0时,此时的方程

    ax+by=gcd(a,b),b==0,所以就是ax=a,那么x=1,y=0

   

//已知a,b  求解  ax+by=1
void ex_gcd (int a,int b,int &x,int &y)
{
	if (b==0){x=1,y=0;return;}
	ex_gcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y,y=tmp-a/b*y;
}
/*
 * 若求解  ax+by=c
 * △条件(是否有解) : 满足gcd(a,b)|c [c%gcd(a,b)==0]
 * 可以先求  ax+by=gcd(a,b)
 * 再将求得的x与y分别乘以c/gcd(a,b)
 */

    那么扩展欧几里得便讲完了,下面说一下上文提到的裴蜀定理

    原题链接

  裴蜀定理

  题目描述

    给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1X1+...AnXn>0,且S的值最小

  输入输出格式

    输入格式:

    第一行给出数字N,代表有N个数 下面一行给出N个数

     输出格式:

    S的最小值

    我们可以将A1X1+A2X2+...+AnXn看成许多个ax+by,那么我们要求的便是c的最小值,上文说过,c的最小值就是gcd(a,b),所以我们只需求出所有的gcd便可

    附上代码

   

#include 
#include 
using namespace std;
int ans,n,t;
int gcd (int a,int b)
{
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int main ()
{
	scanf("%d",&n);
	scanf("%d",&ans);//ans初始赋值为第一个数
	while (--n){
		scanf("%d",&t);
		t=abs(t);
		ans=abs(gcd(ans,t));
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

    注,如若有误或者哪里讲得不清楚,请联系本人更改或者在下方留言,谢谢啦~\(≧▽≦)/~

你可能感兴趣的:(理解,竞赛算法)