2的幂

题目

给定一个整数，编写一个函数来判断它是否是 2 的幂次方。

示例 1:

输入: 1
输出: true
解释: 2^0 = 1

示例 2:

输入: 16
输出: true
解释: 2^4 = 16

示例 3:

输入: 218
输出: false

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/power-of-two
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解题思路

直接法（更像是数学解题法）

从原理上直接判断 2 的幂次，幂指数逐次增大，每次都与给定的整数 n 做比较，有三种情况：

1. 小于 n：幂指数继续递增
2. 等于 n：返回 true
3. 大于 n：返回 false

时间复杂度为O(log N)

位运算

2 的幂次最简单体现的只是计算结果，表面上看是数学幂次运算，从过程本质上分析，基于二进制，更偏向计算机运算思维，底层的实现过程。

2的幂次	二进制表示
2^0	0000 0001
2^1	0000 0010
2^2	0000 0100
2^3	0000 1000

……

从表格中可以看出 2 的幂次二进制表示具有规律，即仅在某一位是 1 其余都是 0。于是，此题可以转化为判断给定的整数 n 的二进制表示的 1 的个数是否为一个。

• n & n - 1（去除二进制最右边的 1）
  若为 2 的幂次，如 4 ，4(0100) & 3(0011) = 0 ；对于非 2 的幂次，如 9 , 9(1001) & 8(1000) = 8(1000)，不为 0 ，可区分正确结果。
• n & -n（获得二进制最右边的 1）
  若为 2 的幂次，如 2 ，2(0010) & -2(1110) = 2(0010) ；对于非 2 的幂次，如 9 , 9(1001) & -9(0111) = 1(0001)，不为 9 ，可区分正确结果。

时间复杂度为O(1)

提交代码

直接法

class Solution:
    def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:
        i = 0
        while i > -1:
            if pow(2,i) < n:
                i += 1
            elif pow(2,i) == n:
                return True
            else:return False

位运算

• n & (-n)

class Solution:
    def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:
        if n == 0:
            return False
        return n & (-n) == n

可简化为↓

class Solution:
    def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:
        return n > 0 and n & (-n) == n

• n & (n - 1)

class Solution:
    def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:
        if n == 0:
            return False
        return n & (n - 1) == 0

可简化为↓

class Solution:
    def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:
        return n > 0 and n & (n - 1) == 0

学习总结

1. 偏向数学运算的题目按照计算机处理过程来分析，更有利于问题的高效解决，解题时从思路上只考虑数学表面解法欠缺学习意义；
2. 二进制位运算的基础应用，获取二进制最右边的 1 和去除二进制最右边的 1，分别通过相反数（-n）和减一得到（n - 1）再与原数 & 运算。