前端 | 前端常见算法题(动态规划篇).png

一、路径问题

2021.05.13

No.514 自由之路

电子游戏“辐射4”中，任务“通向自由”要求玩家到达名为“Freedom Trail Ring”的金属表盘，并使用表盘拼写特定关键词才能开门。
给定一个字符串 ring，表示刻在外环上的编码；给定另一个字符串 key，表示需要拼写的关键词。您需要算出能够拼写关键词中所有字符的最少步数。

最初，ring 的第一个字符与12:00方向对齐。您需要顺时针或逆时针旋转 ring 以使 key 的一个字符在 12:00 方向对齐，然后按下中心按钮，以此逐个拼写完 key 中的所有字符。

旋转 ring 拼出 key 字符 key[i] 的阶段中：

您可以将 ring 顺时针或逆时针旋转一个位置，计为1步。旋转的最终目的是将字符串 ring 的一个字符与 12:00 方向对齐，并且这个字符必须等于字符 key[i] 。
如果字符 key[i] 已经对齐到12:00方向，您需要按下中心按钮进行拼写，这也将算作 1 步。按完之后，您可以开始拼写 key 的下一个字符（下一阶段）, 直至完成所有拼写。
示例：

ring.jpg

输入: ring = "godding", key = "gd"
输出: 4
解释:
对于 key 的第一个字符 'g'，已经在正确的位置, 我们只需要1步来拼写这个字符。
对于 key 的第二个字符 'd'，我们需要逆时针旋转 ring "godding" 2步使它变成 "ddinggo"。
当然, 我们还需要1步进行拼写。
因此最终的输出是 4。
提示：

ring 和 key 的字符串长度取值范围均为 1 至 100；
两个字符串中都只有小写字符，并且均可能存在重复字符；
字符串 key 一定可以由字符串 ring 旋转拼出。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/freedom-trail
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=514 lang=javascript
 *
 * [514] 自由之路
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} ring
 * @param {string} key
 * @return {number}
 */
var findRotateSteps = function(ring, key) {
    // 用于存储ring中的索引信息
    const keyMap = {};

    for(let i = 0; i < ring.length; i++) {
        const k = ring[I];
        if(keyMap[k]) {
            keyMap[k].push(i)
        } else {
            keyMap[k] = [I]
        }
    }

    // 缓存用于dfs剪枝
    const memo = new Array(ring.length);

    for(let i = 0; i < ring.length; i++) {
        memo[i] = new Array(key.length).fill(-1)
    }
    
    // dfs递归
    const dfs = ( ringI, keyI ) => {
        if(keyI == key.length) return 0;

        // 剪枝 有缓存直接返回缓存的结果
        if( memo[ringI][keyI] !== -1 ) return memo[ringI][keyI]

        const cur = key[keyI];

        // 返回的结果
        let res = Infinity;
        for(const targetI of keyMap[cur]) {
            // 正向位置
            let d1 = Math.abs(ringI - targetI),
                d2 = ring.length - d1;
            const curMin = Math.min(d1, d2)
            // 递归的循环不变式
            res = Math.min(res, curMin + dfs(targetI, keyI+1))
        }
        memo[ringI][keyI] = res;
        return res;
    }

    return dfs(0,0) + key.length;

};

动态规划，关键在于找到剪枝优化方案

2021.05.16

No.576 出界的路径数

给定一个 m × n 的网格和一个球。球的起始坐标为 (i,j) ，你可以将球移到相邻的单元格内，或者往上、下、左、右四个方向上移动使球穿过网格边界。但是，你最多可以移动 N 次。找出可以将球移出边界的路径数量。答案可能非常大，返回结果 mod 109 + 7 的值。

示例 1：

输入: m = 2, n = 2, N = 2, i = 0, j = 0
输出: 6
解释:

out_of_boundary_paths_1.png

示例 2：

输入: m = 1, n = 3, N = 3, i = 0, j = 1
输出: 12
解释:

out_of_boundary_paths_2.png

说明:

球一旦出界，就不能再被移动回网格内。
网格的长度和高度在 [1,50] 的范围内。
N 在 [0,50] 的范围内。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/out-of-boundary-paths
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=576 lang=javascript
 *
 * [576] 出界的路径数
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @param {number} maxMove
 * @param {number} startRow
 * @param {number} startColumn
 * @return {number}
 */
var findPaths = function(m, n, N, i, j) {
    const helper = (i, j, N) => {
        // N 次用完了，此时不能再走了就返回 0
        if (N < 0) {
            return 0
        }
        // 出界条件满足了，说明有一条出界路径，就返回 1
        if (i < 0 || i >= m || j < 0 || j >= n) {
            return 1
        }
        // 记忆化搜索（如果重复访问了那就用之前的值）
        const key = `${i}-${j}-${N}`
        if (visited.has(key)) {
            return visited.get(key)
        }
        let res = 0
        // 找上、下、左、右 四个方向
        for (let k = 0; k < 4; k++) {
            res = (res + helper(i + direction[k][0], j + direction[k][1], N -1)) % mod
        }
        // 将当前的值缓存下来
        visited.set(key, res)
        return res
    }
    const mod = Math.pow(10, 9) + 7
    const direction = [[1, 0], [-1, 0], [0, -1], [0, 1]]
    const visited = new Map()
    return helper(i, j, N)
};

利用Map进行递归判断，状态转移是四个方向的探索

2021.05.17

No.980 不同路径-iii

在二维网格 grid 上，有 4 种类型的方格：
1 表示起始方格。且只有一个起始方格。
2 表示结束方格，且只有一个结束方格。
0 表示我们可以走过的空方格。
-1 表示我们无法跨越的障碍。
返回在四个方向（上、下、左、右）上行走时，从起始方格到结束方格的不同路径的数目。

每一个无障碍方格都要通过一次，但是一条路径中不能重复通过同一个方格。

示例 1：

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]]
输出：2
解释：我们有以下两条路径：

(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2)
(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2)
示例 2：

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,2]]
输出：4
解释：我们有以下四条路径：

(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)
(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2),(2,3)
示例 3：

输入：[[0,1],[2,0]]
输出：0
解释：
没有一条路能完全穿过每一个空的方格一次。
请注意，起始和结束方格可以位于网格中的任意位置。

提示：

1 <= grid.length * grid[0].length <= 20

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths-iii
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=980 lang=javascript
 *
 * [980] 不同路径 III
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[][]} grid
 * @return {number}
 */
var uniquePathsIII = function(grid) {
    if(!grid.length) return 0;

    const helper = ( grid, i, j, step ) => {
        if( i < 0 || i >= grid.length || j < 0 || j >= grid[0].length || grid[i][j] == -1 ) {
            return 0;
        }

        if(grid[i][j] == 2) return step == -1 ? 1 : 0;

        grid[i][j] = -1;

        let res = 0;

        // 向四个方向探索
        res += helper( grid, i+1, j, step - 1 );
        res += helper( grid, i, j+1, step - 1 );
        res += helper( grid, i-1, j, step - 1 );
        res += helper( grid, i, j-1, step - 1 );

        grid[i][j] = 0

        return res;
    }

    let startI = 0, startJ = 0, total = 0;

    // 遍历
    for( let i = 0; i < grid.length; i++ ) {
        for( let j = 0; j < grid[i].length; j++ ) {
            if( grid[i][j] == 1 ) {
                startI = I;
                startJ = j;
            }

            if( grid[i][j] == 0 ) {
                total++;
            }
        }
    }

    return helper(grid, startI, startJ, total);
};

同576题，不同之处在于不能返回，动态规划进行四个方向的探索回溯

2021.05.18

No.1129 颜色交替的最短路径

在一个有向图中，节点分别标记为 0, 1, ..., n-1。这个图中的每条边不是红色就是蓝色，且存在自环或平行边。
red_edges 中的每一个 [i, j] 对表示从节点 i 到节点 j 的红色有向边。类似地，blue_edges 中的每一个 [i, j] 对表示从节点 i 到节点 j 的蓝色有向边。

返回长度为 n 的数组 answer，其中 answer[X] 是从节点 0 到节点 X 的红色边和蓝色边交替出现的最短路径的长度。如果不存在这样的路径，那么 answer[x] = -1。

示例 1：

输入：n = 3, red_edges = [[0,1],[1,2]], blue_edges = []
输出：[0,1,-1]
示例 2：

输入：n = 3, red_edges = [[0,1]], blue_edges = [[2,1]]
输出：[0,1,-1]
示例 3：

输入：n = 3, red_edges = [[1,0]], blue_edges = [[2,1]]
输出：[0,-1,-1]
示例 4：

输入：n = 3, red_edges = [[0,1]], blue_edges = [[1,2]]
输出：[0,1,2]
示例 5：

输入：n = 3, red_edges = [[0,1],[0,2]], blue_edges = [[1,0]]
输出：[0,1,1]

提示：

1 <= n <= 100
red_edges.length <= 400
blue_edges.length <= 400
red_edges[i].length == blue_edges[i].length == 2
0 <= red_edges[i][j], blue_edges[i][j] < n

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/shortest-path-with-alternating-colors
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=1129 lang=javascript
 *
 * [1129] 颜色交替的最短路径
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number} n
 * @param {number[][]} red_edges
 * @param {number[][]} blue_edges
 * @return {number[]}
 */
var shortestAlternatingPaths = function(n, red_edges, blue_edges) {
    var re_0=new Array(n).fill(Number.MAX_VALUE);
    var re_1=new Array(n).fill(Number.MAX_VALUE);

   
    var graph_red=new Array(n);
    var graph_blue=new Array(n);
    for(var i=0;i

 
  
  
 Dijistra算法变形，使用动态规划进行逐步bfs 
  
  
 总结： 
  
   
   路径问题最常见的就是回溯探索，关键在于剪枝优化，对于状态转移函数的归纳总结； 
   动态规划是一种逐步处理问题的思路，常见的需要利用二维数组及hashMap等数据结构进行处理 
   
  
 二、股票问题 
 2021.05.19 
 No.121 买卖股票的最佳时机 
 给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
 你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。 
 返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。 
 示例 1： 
 输入：[7,1,5,3,6,4]
 输出：5
 解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
 注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
 示例 2： 
 输入：prices = [7,6,4,3,1]
 输出：0
 解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。 
 提示： 
 1 <= prices.length <= 105
 0 <= prices[i] <= 104 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=3 lang=javascript
 *
 * [3] 无重复字符的最长子串
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @return {number}
 */
var lengthOfLongestSubstring = function(s) {
    let max = 0, index = 0;

    for(let i=0,j=0;j
 
  
  
 动态规划，股票问题i 
  
  
 2021.05.20 
 No.122 买卖股票的最佳时机-ii 
 给定一个数组 prices ，其中 prices[i] 是一支给定股票第 i 天的价格。
 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。 
 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。 
 示例 1: 
 输入: prices = [7,1,5,3,6,4]
 输出: 7
 解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
 随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
 示例 2: 
 输入: prices = [1,2,3,4,5]
 输出: 4
 解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
 示例 3: 
 输入: prices = [7,6,4,3,1]
 输出: 0
 解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。 
 提示： 
 1 <= prices.length <= 3 * 104
 0 <= prices[i] <= 104 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=122 lang=javascript
 *
 * [122] 买卖股票的最佳时机 II
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
    let profit_in = -prices[0],
        profit_out = 0,
        n = prices.length;
    for(let i =0; i < n; i++) {
        profit_out = Math.max(profit_out, profit_in + prices[I]);
        profit_in = Math.max(profit_in,  profit_out - prices[I]);
    }
        
    return profit_out;  
};
 
  
  
 动态规划，股票问题ii 
  
  
 2021.05.21 
 No.123 买卖股票的最佳时机-iii 
 给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。 
 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。 
 示例 1: 
 输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
 输出：6
 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
 示例 2： 
 输入：prices = [1,2,3,4,5]
 输出：4
 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
 示例 3： 
 输入：prices = [7,6,4,3,1]
 输出：0
 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
 示例 4： 
 输入：prices = [1]
 输出：0 
 提示： 
 1 <= prices.length <= 105
 0 <= prices[i] <= 105 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=123 lang=javascript
 *
 * [123] 买卖股票的最佳时机 III
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
    //第一次 买入， 卖出的利润
    let profit_1_in = -prices[0], profit_1_out = 0;
    //继第一次之后，第二次买入卖出的利润
    let profit_2_in = -prices[0], profit_2_out = 0;
    let n = prices.length;
    for (let i = 1; i < n; i++){
        profit_2_out = Math.max(profit_2_out, profit_2_in + prices[I]);
        //第二次买入后的利润， 第一次卖出的利润 - prices[i]
        profit_2_in = Math.max(profit_2_in, profit_1_out - prices[I]);
        profit_1_out = Math.max(profit_1_out, profit_1_in + prices[I]);
        //第一次买入后，利润为 -prices[i]
        profit_1_in = Math.max(profit_1_in, -prices[I]);
    }
    return profit_2_out;
};
 
  
  
 动态规划，股票问题iii 
  
  
 2021.05.24 
 No.188 买卖股票的最佳时机-iv 
 给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。 
 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。 
 示例 1： 
 输入：k = 2, prices = [2,4,1]
 输出：2
 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
 示例 2： 
 输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
 输出：7
 解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
 随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 
 提示： 
 0 <= k <= 100
 0 <= prices.length <= 1000
 0 <= prices[i] <= 1000 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=188 lang=javascript
 *
 * [188] 买卖股票的最佳时机 IV
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number} k
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(k, prices) {
    let n = prices.length;
    if (k > n / 2) {
        k = Math.floor(n/2);
    }
    let profits = [];
    for(let j=0; j <= k; j++) {
        profits[j] = {
            profits_out: 0,
            profits_in: -prices[0]
        }
    }
    
    for( let i = 0; i < n; i++ ) {
        for( let j=1; j <= k; j++ ) {
            profits[j] = {
                profits_out: Math.max(profits[j][`profits_out`], profits[j][`profits_in`] + prices[I]),
            profits_in: Math.max(profits[j][`profits_in`], profits[j-1][`profits_out`] - prices[I])
            }
        }
    }

    return profits[k][`profits_out`];
};
 
  
 动态规划，股票问题iv 
  
  
 2021.05.26 
 No.309 最佳买卖股票时机含冷冻期 
 给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
 设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）: 
 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
 示例: 
 输入: [1,2,3,0,2]
 输出: 3
 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出] 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=309 lang=javascript
 *
 * [309] 最佳买卖股票时机含冷冻期
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
    let n = prices.length,
        profits_in = -prices[0],
        profits_out = 0,
        profits_freeze = 0;
    
    for( let i = 0; i < prices.length; i++ ) {
        let temp = profits_out;
        profits_out = Math.max(profits_out, prices[i] + profits_in);
        profits_in = Math.max(profits_in, profits_freeze - prices[I]);
        profits_freeze = temp;
    }

    return profits_out;
};
 
  
 动态规划，股票问题v 
  
  
 2021.05.27 
 No.714 买卖股票的最佳时机含手续费 
 给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
 你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。 
 返回获得利润的最大值。 
 注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。 
 示例 1： 
 输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
 输出：8
 解释：能够达到的最大利润:
 在此处买入 prices[0] = 1
 在此处卖出 prices[3] = 8
 在此处买入 prices[4] = 4
 在此处卖出 prices[5] = 9
 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8
 示例 2： 
 输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
 输出：6 
 提示： 
 1 <= prices.length <= 5 * 104
 1 <= prices[i] < 5 * 104
 0 <= fee < 5 * 104 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=714 lang=javascript
 *
 * [714] 买卖股票的最佳时机含手续费
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} prices
 * @param {number} fee
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices, fee) {
    let n = prices.length,
        profits_in = 0 - prices[0],
        profits_out = 0;
    
    for( let i=0; i < prices.length; i++ ) {
        profits_out = Math.max(profits_out, prices[i] + profits_in - fee);
        profits_in = Math.max(profits_in, profits_out - prices[I]);
    }

    return profits_out < 0 ? 0 : profits_out;
};
 
  
 动态规划，股票问题vi 
  
  
 总结： 
  
   
   股票问题关键在于对输入输出的状态进行判断转移，运用动态规划思想进行处理； 
   在动态规划实现中比较常见的是多维数组的逐步迭代，对于股票问题可以进行降维处理，优化效率 
   
  
 三、拆分组合 
 2021.05.31 
 No.132 分割回文串-ii 
 给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文。
 返回符合要求的 最少分割次数 。 
 示例 1： 
 输入：s = "aab"
 输出：1
 解释：只需一次分割就可将 s 分割成 ["aa","b"] 这样两个回文子串。
 示例 2： 
 输入：s = "a"
 输出：0
 示例 3： 
 输入：s = "ab"
 输出：1 
 提示： 
 1 <= s.length <= 2000
 s 仅由小写英文字母组成 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/palindrome-partitioning-ii
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案一： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=132 lang=javascript
 *
 * [132] 分割回文串 II
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @return {number}
 */
var minCut = function (s) {
    let j, dp = new Array(s.length).fill(s.length)
    for (let i = 0; i < s.length; i++) {
        j = 0
        while (i - j >= 0 && i + j < s.length) {
            if (s[i - j] === s[i + j]) dp[i + j] = i - j === 0 ? 0 : dp[i + j] <= dp[i - j - 1] + 1 ? dp[i + j] : dp[i - j - 1] + 1
            else break
            j++
        }
        j = 0
        while (i - j >= 0 && i + j + 1 < s.length) {
            if (s[i - j] === s[i + j + 1]) dp[i + j + 1] = i - j === 0 ? 0 : dp[i + j + 1] <= dp[i - j - 1] + 1 ? dp[i + j + 1] : dp[i - j - 1] + 1
            else break
            j++
        }
    }
    return dp[s.length - 1]
};
 
  
 方案二： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=132 lang=javascript
 *
 * [132] 分割回文串 II
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @return {number}
 */
var minCut = function (s) {
    var manacher = function(s){
    if(!s) return [];
    var lstRadios=[];
    //拼装manacher字符串
    s=s.replace(/\w/g,(a)=>{return '#'+a;})+'#';
    //三个指针，现在先定义中心指针c和最右指针r,剩下一个就是运动指针了
    var r=-1, c=-1;
    for(var i=0; ii?Math.min(lstRadios[2*c-i],r-i+1):1;

        while(i+lstRadios[i]-1){
            if(s.charAt(i-lstRadios[i]) == s.charAt(i+lstRadios[i]))lstRadios[i]++;
            else break;
        }

        if(i+lstRadios[i]-1 > r){
            r=1+lstRadios[i]-1;
            c=I;
        }
    }
    return lstRadios;
};

if(s.length<=1) return 0;
    var lstRadios=manacher(s);
    var dp=[];
    for(var i=0; i=0?(dp[i-j-1]+1):0),dp[i+j]);
        }
        //以i和i+1的中间为中心
        d=lstRadios[2*i+2]/2;
        if(d<=0)continue;
        for(var j=1; j<=d; j++){
            if(dp[i+j] == undefined) dp[i+j]=i+j;
            dp[i+j]=Math.min(((i-j)>=0?(dp[i-j]+1):0),dp[i+j]);
        }
    }
    return dp[s.length-1];

};
 
  
 方案三： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=132 lang=javascript
 *
 * [132] 分割回文串 II
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @return {number}
 */
var minCut = function(s) {
    const n = s.length;
    const g = new Array(n).fill(0).map(() => new Array(n).fill(true));

    for (let i = n - 1; i >= 0; --i) {
        for (let j = i + 1; j < n; ++j) {
            g[i][j] = s[i] == s[j] && g[i + 1][j - 1];
        }
    }

    const f = new Array(n).fill(Number.MAX_SAFE_INTEGER);
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        if (g[0][i]) {
            f[i] = 0;
        } else {
            for (let j = 0; j < i; ++j) {
                if (g[j + 1][i]) {
                    f[i] = Math.min(f[i], f[j] + 1);
                }
            }
        }
    }

    return f[n - 1];
};
 
  
 动态规划，有三种不同的实现方案：1、利用字符串的位置特性，只用一遍动态规划；2、利用manacher进行一个查找的优化；3、两次动态规划 
  
  
 2021.06.01 
 No.1278 分割回文串-iii 
 给你一个由小写字母组成的字符串 s，和一个整数 k。
 请你按下面的要求分割字符串： 
 首先，你可以将 s 中的部分字符修改为其他的小写英文字母。
 接着，你需要把 s 分割成 k 个非空且不相交的子串，并且每个子串都是回文串。
 请返回以这种方式分割字符串所需修改的最少字符数。 
 示例 1： 
 输入：s = "abc", k = 2
 输出：1
 解释：你可以把字符串分割成 "ab" 和 "c"，并修改 "ab" 中的 1 个字符，将它变成回文串。
 示例 2： 
 输入：s = "aabbc", k = 3
 输出：0
 解释：你可以把字符串分割成 "aa"、"bb" 和 "c"，它们都是回文串。
 示例 3： 
 输入：s = "leetcode", k = 8
 输出：0 
 提示： 
 1 <= k <= s.length <= 100
 s 中只含有小写英文字母。 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/palindrome-partitioning-iii
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案一： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=1278 lang=javascript
 *
 * [1278] 分割回文串 III
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var palindromePartition = function(s, k) {
    const n = s.length;
    const dp = Array.from({length: n}, () => Array(k+1).fill(100));
    const cost = Array.from({length: n}, () => Array(n).fill(0));
    
    for (let len = 1; len < n; len++) {
        for (let i = 0; i < n - len; i++) {
            const j = i + len;
            cost[i][j] = cost[i+1][j-1] + (s[i] == s[j] ? 0 : 1);
        }
    }
    
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        dp[i][1] = cost[0][I];
        for (let kk = 2; kk <= k; kk++) {
            for (let j = 0; j < i; j++) {
                dp[i][kk] = Math.min(dp[i][kk], dp[j][kk-1] + cost[j+1][I]);
            }
        }
    }
   
    return dp[n-1][k];
};
 
 方案二： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=1278 lang=javascript
 *
 * [1278] 分割回文串 III
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var palindromePartition = function (s, k) {
  const m = s.length;
  const dp = Array.from(Array(k), () => Array(m));
  const map = Array.from(Array(m), () => Array(m));
  const helper = (i, j) => {
    const str = s.substring(i, j + 1);
    let res = 0;
    for (let l = 0; l < str.length / 2; l++)
      if (str[l] !== str[str.length - 1 - l]) res++;
    return res;
  };
  for (let i = 0; i < m; I++)
    for (let j = i; j < m; j++) map[i][j] = helper(i, j);

  for (let i = 0; i < k; i++) {
    for (let j = i; j < m; j++) {
      if (i === j || i === 0) {
        dp[i][j] = map[i][j]; // No need to remove, each char is a substring
        continue;
      }
      let res = Infinity;
      for (let k = 1; j - k >= i - 1; k++)
        res = Math.min(res, map[j + 1 - k][j] + dp[i - 1][j - k]);
      dp[i][j] = res;
    }
  }

  return dp[k - 1][m - 1];
};
 
  
 两次dp，方法2对字符串进行了过滤截取 
  
  
 2021.06.02 
 No.1745 回文串分割-iv 
 给你一个字符串 s ，如果可以将它分割成三个 非空 回文子字符串，那么返回 true ，否则返回 false 。
 当一个字符串正着读和反着读是一模一样的，就称其为 回文字符串 。 
 示例 1： 
 输入：s = "abcbdd"
 输出：true
 解释："abcbdd" = "a" + "bcb" + "dd"，三个子字符串都是回文的。
 示例 2： 
 输入：s = "bcbddxy"
 输出：false
 解释：s 没办法被分割成 3 个回文子字符串。 
 提示： 
 3 <= s.length <= 2000
 s 只包含小写英文字母。 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/palindrome-partitioning-iv
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=1745 lang=javascript
 *
 * [1745] 回文串分割 IV
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @return {boolean}
 */
var checkPartitioning = function(s) {
    let dp = new Array(s.length);
    for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
        dp[i] = new Array(s.length).fill(true);
    }

    for (let i = s.length - 1; i >=0 ;i--) {
        for (let j = i; j < s.length; j++) {
            if (i !== j) {
                dp[i][j] = (s[i] == s[j]) && dp[i + 1][j - 1];
            }
        }
    }
    for (let i = 0; i < s.length - 2; i++) {
        if(dp[0][i] == false) continue;
        for (let j = i + 1; j < s.length - 1; j++) {
            if(dp[i+1][j] == false || dp[j + 1][s.length - 1] == false ) continue;
            if (dp[0][i] && dp[i + 1][j] && dp[j + 1][s.length - 1]) {
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
};
 
  
  
 动态规划，对循环可进行提前判断 
  
  
 2021.07.02 
 No.139 单词拆分 
 给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
 说明： 
 拆分时可以重复使用字典中的单词。
 你可以假设字典中没有重复的单词。
 示例 1： 
 输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]
 输出: true
 解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以被拆分成 "leet code"。
 示例 2： 
 输入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"]
 输出: true
 解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以被拆分成 "apple pen apple"。
 注意你可以重复使用字典中的单词。
 示例 3： 
 输入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"]
 输出: false 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/word-break
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=139 lang=javascript
 *
 * [139] 单词拆分
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @param {string[]} wordDict
 * @return {boolean}
 */
var wordBreak = function(s, wordDict) {
    const n = s.length;
    const wordDictSet = new Set(wordDict);
    const dp = new Array(n + 1).fill(false);
    dp[0] = true;
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 0; j < i; j++) {
            if (dp[j] && wordDictSet.has(s.substr(j, i - j))) {
                dp[i] = true;
                break;
            }
        }
    }
    return dp[n];
};
 
  
  
 典型动态规划问题，通过dp[i]确定切割位置 
  
  
 2021.07.07 
 No.140 单词拆分-ii 
 给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词列表的字典 wordDict，在字符串中增加空格来构建一个句子，使得句子中所有的单词都在词典中。返回所有这些可能的句子。
 说明： 
 分隔时可以重复使用字典中的单词。
 你可以假设字典中没有重复的单词。
 示例 1： 
 输入:
 s = "catsanddog"
 wordDict = ["cat", "cats", "and", "sand", "dog"]
 输出:
 [
 "cats and dog",
 "cat sand dog"
 ]
 示例 2： 
 输入:
 s = "pineapplepenapple"
 wordDict = ["apple", "pen", "applepen", "pine", "pineapple"]
 输出:
 [
 "pine apple pen apple",
 "pineapple pen apple",
 "pine applepen apple"
 ]
 解释: 注意你可以重复使用字典中的单词。
 示例 3： 
 输入:
 s = "catsandog"
 wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"]
 输出:
 [] 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/word-break-ii
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案一： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=140 lang=javascript
 *
 * [140] 单词拆分 II
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @param {string[]} wordDict
 * @return {string[]}
 */
var wordBreak = function(s, wordDict) {
    let dp = new Array(s.length + 1).fill(false)
    dp[0] = true
    for (let i = 1; i <= s.length; i++) {
        for (let j = 0; j <= i; j++) {
            if (dp[j] && wordDict.indexOf(s.slice(j, i)) >= 0) {
                dp[i] = true
                break
            }
        }
    }
    if(!dp[s.length]) return []
    let ans = []
    function backTrack(cur, str) {
        if(str.length == 0) {
            ans.push(cur)
            return
        }
        for(let i = 0; i < str.length; i++) {
            if(wordDict.indexOf(str.slice(0, i + 1)) >= 0) {
                if(cur.length > 0) backTrack(cur + ' ' + str.slice(0, i + 1), str.slice(i + 1))
                else backTrack(str.slice(0, i + 1), str.slice(i + 1))
            }
        }
    }
    backTrack('', s)
    return ans
};
 
 方案二： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=140 lang=javascript
 *
 * [140] 单词拆分 II
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @param {string[]} wordDict
 * @return {string[]}
 */
var wordBreak = function(s, wordDict) {
    // 辅助函数
    const backtrack = (s, length, wordSet, index, map) => {
        if (map.has(index)) {
            return map.get(index);
        }
        const wordBreaks = [];
        if (index === length) {
            wordBreaks.push([]);
        }
        for (let i = index + 1; i <= length; i++) {
            const word = s.substring(index, i);
            if (wordSet.has(word)) {
                const nextWordBreaks = backtrack(s, length, wordSet, i, map);
                for (const nextWordBreak of nextWordBreaks) {
                    const wordBreak = [word, ...nextWordBreak]
                    wordBreaks.push(wordBreak);
                }
            }
        }
        map.set(index, wordBreaks);
        return wordBreaks;
    }

    const map = new Map();
    const wordBreaks = backtrack(s, s.length, new Set(wordDict), 0, map);
    const breakList = [];
    for (const wordBreak of wordBreaks) {
        breakList.push(wordBreak.join(' '));
    }
    return breakList;
};
 
  
 有两种方案：1、借助139题先进行判断，然后再进行回溯；2、利用Map数据结构，直接回溯 
  
  
 2021.07.08 
 No.343 整数拆分 
 给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
 示例 1: 
 输入: 2
 输出: 1
 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
 示例 2: 
 输入: 10
 输出: 36
 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案一： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=343 lang=javascript
 *
 * [343] 整数拆分
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var integerBreak = function(n) {
    // 利用均值不等式 x1 * x2 * ··· * xn ≤ ( ( x1 + x2 + ··· + xn ) / n )^n
    let max = -Infinity;
    for( let i = 2; i <= n; i++ ) {
        let v = -Infinity;
        if(n % i == 0) {
            v = Math.pow(n/i,i)
        } else {
            let v1 = Math.ceil(n/i),
                v2 = Math.floor(n/i)
            v = Math.max(
                Math.pow(v1,i-1) * (n - v1*(i-1)) , 
                Math.pow(v2,i-1) * (n - v2*(i-1))
            )
        }
        max = Math.max(v, max)
    }
    return max;
};
 
 方案二： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=343 lang=javascript
 *
 * [343] 整数拆分
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var integerBreak = function(n) {
    const dp = new Array(n + 1);
    dp[1] = 1;  
    dp[2] = 1; 
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
      dp[i] = 0;
      // 对于数字 i，它可以分为两份：j 和 i-j，j 的范围是 1 到 i-j
      for (let j = 1; j <= i - j; j++) {
        // 对于 i-j 这部分可以拆或不拆，不拆就是 i-j，拆就是 dp[i-j]
        dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]);
      }
    }
    return dp[n];
};
 
  
 有两种方案：1、数学方案，利用均值不等式进行判断处理；2、动态规划 
  
  
 2021.07.09 
 No.410 分割数组的最大值 
 给定一个非负整数数组 nums 和一个整数 m ，你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子数组。
 设计一个算法使得这 m 个子数组各自和的最大值最小。 
 示例 1： 
 输入：nums = [7,2,5,10,8], m = 2
 输出：18
 解释：
 一共有四种方法将 nums 分割为 2 个子数组。 其中最好的方式是将其分为 [7,2,5] 和 [10,8] 。
 因为此时这两个子数组各自的和的最大值为18，在所有情况中最小。
 示例 2： 
 输入：nums = [1,2,3,4,5], m = 2
 输出：9
 示例 3： 
 输入：nums = [1,4,4], m = 3
 输出：4 
 提示： 
 1 <= nums.length <= 1000
 0 <= nums[i] <= 106
 1 <= m <= min(50, nums.length) 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/split-array-largest-sum
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案一： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=410 lang=javascript
 *
 * [410] 分割数组的最大值
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} m
 * @return {number}
 */
var splitArray = function(nums, m) {
    let max = 0
        sum = 0;
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (max < nums[i]) max = nums[I];
        sum += nums[I];
    }

    while (max < sum) {
        let mid = parseInt((sum - max) / 2, 10) + max;
        // 随机选择的值成立则这个值默认为最大的可能结果继续查找
        if (check(nums, mid, m)) {
        sum = mid;
        } else {
        // 不满足，重置最小可能结果
        max = mid + 1;
        }
    }



    function check(nums, val, m) {
        let sum = 0,
            index = 1;
        for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 如果分段和大于了假设的结果说明，i是该分段的终点，形成一个分段
        // index记录+1，i就成了下一个分段的起点（重置sum）开始校验下一个分段
        if (sum + nums[i] > val) {
            index++;
            sum = nums[I];
        } else {
            sum += nums[I];
        }
        }
        // 如果index即分段数量满足小于等于m则说明这个假设值成立
        return index <= m;
    }

    // 返回最小可能结果
    return max;
};
 
 方案二： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=410 lang=javascript
 *
 * [410] 分割数组的最大值
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} m
 * @return {number}
 */
var splitArray = function(nums, m) {
    let len = nums.length,
        sumList = Array(len + 1).fill(0),
        dp = Array.from({ length: len + 1 }, () => Array(m + 1).fill(Number.MAX_VALUE));

    // 逐位增加，反面后面根据区间求区间和
    for (let i = 0; i < len; i++) {
        sumList[i + 1] = sumList[i] + nums[I];
    }

    // 默认值
    dp[0][0] = 0;

    for (let i = 1; i <= len; i++) {
        for (let j = 1; j <= Math.min(m, i); j++) {
        // 前i个数分成j段
        for (let x = j - 1; x < i; x++) {
            // x最后一段的起点
            // perv本轮分割完成 分段中最大的和
            let prev = Math.max(dp[x][j - 1], sumList[i] - sumList[x])
            // 该分割情况下最大分段和的最小值
            dp[i][j] = Math.min(prev, dp[i][j])
        }
        }
    }

    return dp[len][m]
};
 
  
 有两种方案：1、二分法；2、动态规划 
  
  
 2021.07.11 
 No.413 等差数列划分 
 如果一个数列至少有三个元素，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。
 例如，以下数列为等差数列: 
 1, 3, 5, 7, 9
 7, 7, 7, 7
 3, -1, -5, -9
 以下数列不是等差数列。 
 1, 1, 2, 5, 7 
 数组 A 包含 N 个数，且索引从0开始。数组 A 的一个子数组划分为数组 (P, Q)，P 与 Q 是整数且满足 0<=P 
 
如果满足以下条件，则称子数组(P, Q)为等差数组： 
 元素 A[P], A[p + 1], ..., A[Q - 1], A[Q] 是等差的。并且 P + 1 < Q 。 
 函数要返回数组 A 中所有为等差数组的子数组个数。 
 示例: 
 A = [1, 2, 3, 4] 
 返回: 3, A 中有三个子等差数组: [1, 2, 3], [2, 3, 4] 以及自身 [1, 2, 3, 4]。 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/arithmetic-slices
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案一： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=413 lang=javascript
 *
 * [413] 等差数列划分
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var numberOfArithmeticSlices = function(nums) {
    // 判断是否是等差数列
    const isArithmetic = arr => {
        const diff = arr[1] - arr[0];
        for( let p = 0, q = p+ 1; p < arr.length -1; p++, q++ ) {
            if( arr[q] - arr[p] != diff ) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    // 返回的个数
    let n = 0;

    for(let a = 0; a < nums.length - 2;a++ ) {
        for(let b = a + 2; b < nums.length; ) {
            if(!isArithmetic(nums.slice(a,b+1))) {
                break;
            } else {
                n++;
                b++
            }
        }
    }

    return n;
};
 
 方案二： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=413 lang=javascript
 *
 * [413] 等差数列划分
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var numberOfArithmeticSlices = function(nums) {
    let len = nums.length
    if (len < 3) {
        return 0
    }
    let dp = Array(len).fill(0)
    for (let i = 2;i <= len;i++) {
        if (nums[i] - nums[i - 1] === nums[i - 1] - nums[i - 2]) {
        dp[i] = dp[i - 1] + 1
        }
    }
    return dp.reduce((prev, cur) => { return prev + cur }, 0)
};
 
  
 有两种方案：1、暴解；2、动态规划 
  
  
 2021.07.12 
 No.416 分割等和子集 
 给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。 
 示例 1： 
 输入：nums = [1,5,11,5]
 输出：true
 解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
 示例 2： 
 输入：nums = [1,2,3,5]
 输出：false
 解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。 
 提示： 
 1 <= nums.length <= 200
 1 <= nums[i] <= 100 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=416 lang=javascript
 *
 * [416] 分割等和子集
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {boolean}
 */
var canPartition = function(nums) {
    if(nums.length < 2) return false;
    const sum = nums.reduce((prev, curr) => prev + curr);
    if( sum % 2 !== 0) {
        return false;
    }
    const target = sum / 2;
    nums.sort((a,b) => b-a);
    if(nums[0] > target) {
        return false;
    }
    // 动态规划
    const dp = new Array(nums.length).fill(0).map(v => new Array(target + 1, false));
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        dp[i][0] = true;
    }
    dp[0][nums[0]] = true;
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        const num = nums[I];
        for (let j = 1; j <= target; j++) {
            if (j >= num) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j - num];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return dp[nums.length - 1][target];
};
 
  
  
 NP完全，可转化为0-1背包问题，动态规划解决 
  
  
 2021.07.13 
 No.446 等差数列拆分 ii-子序列 
 如果一个数列至少有三个元素，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。
 例如，以下数列为等差数列: 
 1, 3, 5, 7, 9
 7, 7, 7, 7
 3, -1, -5, -9
 以下数列不是等差数列。 
 1, 1, 2, 5, 7 
 数组 A 包含 N 个数，且索引从 0 开始。该数组子序列将划分为整数序列 (P0, P1, ..., Pk)，满足 0 ≤ P0 < P1 < ... < Pk < N。 
 如果序列 A[P0]，A[P1]，...，A[Pk-1]，A[Pk] 是等差的，那么数组 A 的子序列 (P0，P1，…，PK) 称为等差序列。值得注意的是，这意味着 k ≥ 2。 
 函数要返回数组 A 中所有等差子序列的个数。 
 输入包含 N 个整数。每个整数都在 -231 和 231-1 之间，另外 0 ≤ N ≤ 1000。保证输出小于 231-1。 
 示例： 
 输入：[2, 4, 6, 8, 10] 
 输出：7 
 解释：
 所有的等差子序列为：
 [2,4,6]
 [4,6,8]
 [6,8,10]
 [2,4,6,8]
 [4,6,8,10]
 [2,4,6,8,10]
 [2,6,10] 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/arithmetic-slices-ii-subsequence
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=446 lang=javascript
 *
 * [446] 等差数列划分 II - 子序列
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var numberOfArithmeticSlices = function(nums) {
    // 定义 i 的数组
    let dp = Array(nums.length).fill(0).map(x=> new Object())
    let ans = 0
    for(let i=1; i
 
  
  
 动态规划 
  
  
 2021.07.14 
 No.698 划分为k个相等的子集 
 给定一个整数数组 nums 和一个正整数 k，找出是否有可能把这个数组分成 k 个非空子集，其总和都相等。
 示例 1： 
 输入： nums = [4, 3, 2, 3, 5, 2, 1], k = 4
 输出： True
 说明： 有可能将其分成 4 个子集（5），（1,4），（2,3），（2,3）等于总和。 
 提示： 
 1 <= k <= len(nums) <= 16
 0 < nums[i] < 10000 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/partition-to-k-equal-sum-subsets
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案一： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=698 lang=javascript
 *
 * [698] 划分为k个相等的子集
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} k
 * @return {boolean}
 */
var canPartitionKSubsets = function(nums, k) {
    const sum = nums.reduce((prev, curr) => prev + curr);
    if( sum % k !== 0 ) return false;
    const target = sum / k;
    nums.sort((a,b) => b - a);
    if(nums[0] > target) return false;
    // 动态规划
    const MAX_STATE = (1 << nums.length) - 1 // 1 <= N <= 16
    let dp = new Array(MAX_STATE + 1).fill(null)
    dp[0] = 0
    
    // 枚举所有状态，递推
    for (let state = 1; state <= MAX_STATE; ++state) { // O(2^N)
        for (let i = 0; i < nums.length; ++i) { // O(N)
        const iBit = 1 << I
        // 如果 state 表示未选取 nums[i] ，说明不能达到 (state, i) 状态
        if ((state & iBit) === 0) continue

        const prevState = state ^ iBit
        // NOTICE: 如果不能到达 prevState 状态
        if (dp[prevState] === null) continue
        const prevSubsetSum = dp[prevState] % target
        // 最优性剪枝优化：nums 已升序排序，如果 nums[i] 已偏大，后续更加偏大，无需尝试
        if (prevSubsetSum + nums[i] > target) break
        dp[state] = dp[prevState] + nums[i]
        }
    }

    // console.log(dp)
    return dp[MAX_STATE] === sum
};
 
 方案二： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=698 lang=javascript
 *
 * [698] 划分为k个相等的子集
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} k
 * @return {boolean}
 */
var canPartitionKSubsets = function(nums, k) {
    const sum = nums.reduce((prev, curr) => prev + curr);
    if( sum % k !== 0 ) return false;
    const target = sum / k;
    nums.sort((a,b) => b - a);
    if(nums[0] > target) return false;
    // 回溯
    const sums = new Array(k).fill(0);
    const helper = (i, sums, target, nums, k) => {
        if(i === nums.length) return true;
        for( let j = 0; j< k; j++ ) {
            if(sums[j] < target && nums[i] + sums[j] <= target) {
                sums[j] += nums[I];
                if(helper(i+1, sums, target, nums, k)) {
                    return true;
                }
                sums[j] -= nums[I];
            }
        }

        return false;
    }

    return helper(0,sums, target, nums, k);
};
 
  
 有两种方案：1、动态规划，用二进制对数组进行表示；2、回溯递归 
  
  
 2021.07.15 
 No.902 最大为N的数字组合 
 我们有一组排序的数字 D，它是 {'1','2','3','4','5','6','7','8','9'} 的非空子集。（请注意，'0' 不包括在内。）
 现在，我们用这些数字进行组合写数字，想用多少次就用多少次。例如 D = {'1','3','5'}，我们可以写出像 '13', '551', '1351315' 这样的数字。 
 返回可以用 D 中的数字写出的小于或等于 N 的正整数的数目。 
 示例 1： 
 输入：D = ["1","3","5","7"], N = 100
 输出：20
 解释：
 可写出的 20 个数字是：
 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.
 示例 2： 
 输入：D = ["1","4","9"], N = 1000000000
 输出：29523
 解释：
 我们可以写 3 个一位数字，9 个两位数字，27 个三位数字，
 81 个四位数字，243 个五位数字，729 个六位数字，
 2187 个七位数字，6561 个八位数字和 19683 个九位数字。
 总共，可以使用D中的数字写出 29523 个整数。 
 提示： 
 D 是按排序顺序的数字 '1'-'9' 的子集。
 1 <= N <= 10^9 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/numbers-at-most-n-given-digit-set
 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。 
 方案一： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=902 lang=javascript
 *
 * [902] 最大为 N 的数字组合
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string[]} digits
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var atMostNGivenDigitSet = function(digits, n) {
    digits.sort((a,b) => Number(a) - Number(b))
    // 获取n的位数
    const UNIT = (n + '').length;
    console.log('UNIT', UNIT)
    // 获取n对应位置数组
    const queue = (n + '').split('');
    let sum = 0;
    for(let i = 1; i < UNIT; i++) {
        sum += Math.pow(digits.length, i)
    }
    // 辅助函数
    const helper = (pos, queue, digits) => {
        if (pos === queue.length) {
            return 1;
        }
        
        let count = 0;
        
        for (let i = 0; i < digits.length; i++) {
            if (digits[i] < queue[pos]) {
                count += Math.pow(digits.length, queue.length - pos - 1);
            } else if (digits[i] == queue[pos]) {
                count += helper(pos + 1, queue, digits);
            } else {
                break;
            }
        }
        
        return count;
    }

    sum += helper(0, queue, digits)

    return sum;
};
 
 方案二： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=902 lang=javascript
 *
 * [902] 最大为 N 的数字组合
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string[]} digits
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var atMostNGivenDigitSet = function(digits, n) {
    const s = n + '';
    const K = s.length;
    const dp = new Array(K+1).fill(0);
    dp[K] = 1;

    for(let i = K -1; i >= 0; --i) {
        let si = s[i];
        for(let j=0; j < digits.length; j++) {
            if(digits[j] < si) {
                dp[i] += Math.pow(digits.length, K-i-1)
            } else if(digits[j] == si) {
                dp[i] += dp[i+1];
            }
        }
    }

    for(let k=1; k< K; ++k) {
        dp[0] += Math.pow(digits.length, k)
    }

    return dp[0]
};
 
  
 有两种方案：1、递归；2、动态规划 
  
  
 2021.07.16 
 No.923 三数之和的多种可能 
 给定一个整数数组 A，以及一个整数 target 作为目标值，返回满足 i < j < k 且 A[i] + A[j] + A[k] == target 的元组 i, j, k 的数量。
 由于结果会非常大，请返回 结果除以 10^9 + 7 的余数。 
 示例 1： 
 输入：A = [1,1,2,2,3,3,4,4,5,5], target = 8
 输出：20
 解释：
 按值枚举（A[i]，A[j]，A[k]）：
 (1, 2, 5) 出现 8 次；
 (1, 3, 4) 出现 8 次；
 (2, 2, 4) 出现 2 次；
 (2, 3, 3) 出现 2 次。
 示例 2： 
 输入：A = [1,1,2,2,2,2], target = 5
 输出：12
 解释：
 A[i] = 1，A[j] = A[k] = 2 出现 12 次：
 我们从 [1,1] 中选择一个 1，有 2 种情况，
 从 [2,2,2,2] 中选出两个 2，有 6 种情况。 
 提示： 
 3 <= A.length <= 3000
 0 <= A[i] <= 100
 0 <= target <= 300 
 来源：力扣（LeetCode）
 链接：https://leetcode-cn.com/problems/3sum-with-multiplicity
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 方案： 
 /*
 * @lc app=leetcode.cn id=923 lang=javascript
 *
 * [923] 三数之和的多种可能
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} arr
 * @param {number} target
 * @return {number}
 */
var threeSumMulti = function(arr, target) {
    console.log('arr', arr.length)
    // mod数
    const mod = (10**9)+7;
    // 阶乘
    const factorial = n => {
        if (0 === n) {
            return 1;
        }
        let res = 1;
        for (let i = 1; i <= n; ++i) {
            res *= I;
        }
        return res;
    }
    // Cmn函数
    const combination = (m,n) => {
        let s = 1;
        for(let i =0;i< n;i++) {
            s *= (m - i);
        }
        return s / factorial(n)
    }
    console.log('combination', combination(3000,3))
    // 数组去重 并按从小到大排序
    const _ = Array.from(new Set(arr)).sort((a,b) => a-b);
    const LEN = _.length,
          MAX = _[LEN-1],
          MIN = _[0];
    console.log('_', _)
    // 在去重数组中去选择符合要求的三个数
    let i = 0,
        j = LEN - 1,
        m = ~~((i+j)/2);
    // r用于存储符合要求的数组
    const r = [];
    for(let i=0; i < LEN; i++) {
        let j= LEN -1;
        for(let m = i; m <= j;) {
            if(_[i]+_[m]+_[j] == target) {
                r.push([_[i], _[m], _[j]])
            }
            if(_[i]+_[m]+_[j]>target && m < j) {
                j--;
                m--
            }
            m++
        }
    }
    console.log('r', r)
    // 构建值对应数量的map
    const map = {};
    for(let num = 0; num < LEN; num++) {
        let key = _[num],
        value = arr.filter(f => f == key).length;
        map[key] = value;
    }
    console.log('map', map)
    // 对r进行排查
    let sum = 0;
    r.forEach(item => {
        if(item[0] == item[1] && item[1] == item[2]) {
            if(map[`${item[0]}`] >= 3) {
                console.log('走了 A A A')
                sum += combination(map[`${item[0]}`], 3)
            }
        } else if(item[0] != item[1] && item[1] == item[2]) {
            if(map[`${item[1]}`] >= 2) {
                console.log('走了 A B B')
                sum += combination(map[`${item[0]}`], 1)*combination(map[`${item[1]}`], 2)
            }
        } else if(item[0] == item[1] && item[1] != item[2]) {
            if(map[`${item[0]}`] >= 2) {
                console.log('走了 A A B')
                sum += combination(map[`${item[0]}`], 2)*combination(map[`${item[2]}`], 1)
            }
        } else if(item[0] != item[1] && item[1] != item[2] && item[0] != item[2]) {
                console.log('走了 A B C')
                sum += combination(map[`${item[0]}`], 1)*combination(map[`${item[1]}`], 1)*combination(map[`${item[2]}`], 1)
        } 
    })
    console.log('sum', sum)
    return sum % mod;
};
 
  
 三指针法，阶乘可进行动态规划实现 
  
  
 总结： 
  
   
   拆分组合问题关键在于对问题的转移方程定义及建模，将状态可以逐步转移，从而解决问题； 
   在状态方程建立过程中，常常需要结合其他常见方法如指针、递归等方法来进行优化 
   
  
  
   
     
    
   
  
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