小波变换基本思想

小波变换（Wavelet Transform，WT）是一种新的信号分析方法，它与傅里叶变换的基本思想类似，但是与之不同的是，WT能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，克服了窗口大小不随频率变化的缺点，能够对信号进行时间和频率的多尺度细化，达到高频处时间细分，低频处频率细分，从而可充分突出信号的任意细节，是进行信号时域分析和处理的理想工具。

假如函数，其中为平方可积的空间，表示实数。是的傅里叶变换，当满足下面的容许性条件

             

此时称为小波基函数。对小波基函数作伸缩和平移后得到

                

式中，为尺度因子，为平移因子。

一维信号的连续小波变换可表示为时域上的卷积形式

                    

式中，为的共轭复数。

信号的连续小波变换也可在频域上卷积得到

                  

式中，为的傅里叶变换，为的傅里叶变换。

因此，小波系数依赖于在能量集中的时域上的值，也依赖于在能量集中的频域上的值。从小波系数幅值较大的位置和尺度可以较好探测到信号的时频变化。

通俗来讲，小波变换的作用相当于用镜头观察目标信号，表示镜头所起的作用，如滤波或卷积，相当于对镜头进行平移，相对于对镜头进行推进或远离。因此，小波变换具有多分辨率或多尺度的优点，可以用不同的尺度观察信号。

对于离散小波变换，一般采用二进制的动态采样网格对、进行离散化。将函数的尺度因子离散化为，平移因子仍取连续值，得到小波函数为：

                    

得到的二进小波变换为

              

原信号可由二进小波变换重构

                 

式中，。

小波基函数的选择对信号局部特征检测有较大影响，常用的小波基函数包括Morlet小波、Daubechies小波、Meyer小波和Simoncelli小波等。