（三）运动估计的分数阶变分光流模型——2012
运动估计的分数阶变分光流模型
- 1. Introduction
- 2. Methodology
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- (a) Riemann–Liouville definition
- (b) Fractional-order variational optical flow model
1. Introduction
光流是由场景中的运动物体或观察者的运动所产生的二维速度场。通过对光流的分析，可以得到许多有用的运动信息，如速度、方向和物体的数量。光流估计无疑是计算机视觉中的关键问题之一。
近年来，利用变分方法计算光流场的变分光流模型由于其在建模、计算和质量[10]等方面的优点，在光流场估计方面取得了很大的成功。对这些模型进行了修正，推广了它们的微分阶数，越来越引起了一些学者的关注。变分光流模型中的微分有两种推广方式。一种推广处理高阶微分[11,12]，另一种推广处理分数阶微分[13,14]。在本文中，我们关注第二类推广，因为分数阶微分可以看作是整数阶微分的广义形式。
分数阶微分是一门处理任意阶微分的数学学科，早于17世纪提出，主要在19世纪的[15–17]发展起来。分数微分的许多定义已经被提出，其中最流行的定义包括：黎曼-刘维尔定义[18]，非瓦尔德-莱特尼科定义[19]和卡普托定义[20]。长期记忆是分数微分的一个重要特征，也是分数微分和整数阶微分之间的一个显著区别。由于长期记忆的存在，分数分化成为[21–24]各应用领域特征现象建模的重要工具。近年来，越来越多的基于分数微分的方法被应用于图像处理[25,26]领域。在本文中，我们以光流估计为目标，并提出了一种新的分数阶变分光流(FOVOF)模型。通过数值实验分析了在变分光流模型中使用分数阶代替整数阶的改进。
2. Methodology
(a) Riemann–Liouville definition
我们有 a D t a α I t α = I { }_{a} D_{t a}^{\alpha} I_{t}^{\alpha}=I aDtaαItα=I，主要性质如下：
- 当α是一个整数时，算子 0 D t α f ( t ) {}_{0}D^α_tf(t) 0Dtαf(t)给出了与整数阶微分相同的结果；
- 当α=0时，该算子是单位算子 （the identity operator）；
- 分数阶微分算子和分数阶积分算子是线性的 0 D t α ( a f ( t ) + b g ( t ) ) = a 0 D t α f ( t ) + b 0 D t α g ( t ) { }_{0} D_{t}^{\alpha}(a f(t)+b g(t))=a_{0} D_{t}^{\alpha} f(t)+b_{0} D_{t}^{\alpha} g(t) 0Dtα(af(t)+bg(t))=a0Dtαf(t)+b0Dtαg(t)
- 分数微分算子和分数积分算子满足加性指数定律（半群性质） 0 D t α 0 D t β f ( t ) = 0 D t β 0 D t α f ( t ) = 0 D t α + β f ( t ) { }_{0} D_{t}^{\alpha}{ }_{0} D_{t}^{\beta} f(t)={ }_{0} D_{t}^{\beta}{ }_{0} D_{t}^{\alpha} f(t)={ }_{0} D_{t}^{\alpha+\beta} f(t) 0Dtα0Dtβf(t)=0Dtβ0Dtαf(t)=0Dtα+βf(t)
(b) Fractional-order variational optical flow model
设 I 0 ( x , y , t ) I_0(x,y,t) I0(x,y,t)为给定的图像序列，其中 ( x , y ) T (x,y)^T (x,y)T表示具有矩形图像域的位置 Ω ∈ R , t > 0 Ω∈R,t>0 Ω∈R,t>0表示时间。为了减少噪声和异常值的影响，将 I 0 ( x , y , t ) I_0(x,y,t) I0(x,y,t)与具有平均值μ=0和标准差σ的高斯滤波器Gσ进行卷积，则 I ( x , y , t ) = G σ ∗ I 0 ( x , y , t ) I(x,y,t)=G_σ∗I_0(x,y,t) I(x,y,t)=Gσ∗I0(x,y,t)。其中 w ( x , y ) : = ( u ( x , y ) , v ( x , y ) , 1 ) T w(x,y):=(u(x,y),v(x,y),1)^T w(x,y):=(u(x,y),v(x,y),1)T是光流场，它描述了时间t和t+1时两帧之间的位移矢量场。
本文研究了一个分数阶变分光流问题 min w ∫ Ω ( ( I x u + I y v + I t ) 2 + λ ( ∣ D α u ∣ 2 + ∣ D α v ∣ 2 ) ) d Ω (2.9) \min _{w} \int_{\Omega}\left(\left(I_{x} u+I_{y} v+I_{t}\right)^{2}+\lambda\left(\left|D^{\alpha} u\right|^{2}+\left|D^{\alpha} v\right|^{2}\right)\right) \mathrm{d} \Omega\tag{2.9} wmin∫Ω((Ixu+Iyv+It)2+λ(∣Dαu∣2+∣Dαv∣2))dΩ(2.9)式中 D α : = ( D x α , D y α ) T D^α:=(D^α_x,D^α_y)^T Dα:=(Dxα,Dyα)T表示左黎曼-刘维尔分数阶导数算子并且 ∣ D α u ∣ = ( D x α u ) 2 + ( D y α u ) 2 \left|D^{\alpha} u\right|=\sqrt{\left(D_{x}^{\alpha} u\right)^{2}+\left(D_{y}^{\alpha} u\right)^{2}} ∣Dαu∣=(Dxαu)2+(Dyαu)2，当α=1时，分数阶变分光流模型可以看作是Horn&Schunck[1]提出的H-S（一阶）变分光流模型。当α=2时，分数阶变分光流模型可以视为Yuan等人[11]描述的二阶变分光流模型。当α∈(0,1)或(1,2)时，分数阶变分光流模型可以看作是整数阶变分光流模型的推广。
从（2.9）可以看出，所提出的分数阶变分光流模型是一个分数变分问题，我们正式计算了这个分数变分问题的欧拉-拉格朗日方程如下。考虑一个能量函数J(u,v)由式(2.10)所示， J ( u , v ) = ∫ Ω ( ( I x u + I y v + I t ) 2 + λ ( ∣ D x α u ∣ 2 + ∣ D y α u ∣ 2 + ∣ D x α v ∣ 2 + ∣ D y α v ∣ 2 ) ) d Ω J(u, v)=\int_{\Omega}\left(\left(I_{x} u+I_{y} v+I_{t}\right)^{2}+\lambda\left(\left|D_{x}^{\alpha} u\right|^{2}+\left|D_{y}^{\alpha} u\right|^{2}+\left|D_{x}^{\alpha} v\right|^{2}+\left|D_{y}^{\alpha} v\right|^{2}\right)\right) \mathrm{d} \Omega J(u,v)=∫Ω((Ixu+Iyv+It)2+λ(∣Dxαu∣2+ Dyαu 2+∣Dxαv∣2+ Dyαv 2))dΩ假设 u ∗ ( x , y ) u^∗(x,y) u∗(x,y)和 v ∗ ( x , y ) v^∗(x,y) v∗(x,y)是所需的函数。取任何测试函数 η ( x , y ) ∈ C ∞ ( Ω ) , ζ ( x , y ) ∈ C ∞ ( Ω ) η(x,y)∈C^∞(Ω),ζ(x,y)∈C^∞(Ω) η(x,y)∈C∞(Ω),ζ(x,y)∈C∞(Ω)和 ϵ ∈ R \epsilon∈R ϵ∈R。定义 u ( x , y ) = u ∗ ( x , y ) + ϵ η ( x , y ) (2.11) u(x, y)=u^{*}(x, y)+\epsilon \eta(x, y)\tag{2.11} u(x,y)=u∗(x,y)+ϵη(x,y)(2.11) v ( x , y ) = v ∗ ( x , y ) + ϵ ζ ( x , y ) (2.12) v(x, y)=v^{*}(x, y)+\epsilon \zeta(x, y)\tag{2.12} v(x,y)=v∗(x,y)+ϵζ(x,y)(2.12)由于黎曼-刘维尔分数阶导数算子是一个线性算子，因此可以得出
将(2.11)–(2.16)代入(2.10)，我们发现对于每个η(x,y)和ζ(x,y)，式(2.17) J ( ϵ ) = ∫ Ω ( ( I x u ∗ + ϵ I x η + I y v ∗ + ϵ I y ζ + I t ) 2 + λ ( ∣ D x α u ∗ + ϵ D x α η ∣ 2 + ∣ D y α u ∗ + ϵ D y α η ∣ 2 + ∣ D x α v ∗ + ϵ D x α ζ ∣ 2 + ∣ D y α v ∗ + ϵ D y α ζ ∣ 2 ) ) d Ω \begin{aligned} J(\epsilon)=& \int_{\Omega}\left(\left(I_{x} u^{*}+\epsilon I_{x} \eta+I_{y} v^{*}+\epsilon I_{y} \zeta+I_{t}\right)^{2}+\lambda\left(\left|D_{x}^{\alpha} u^{*}+\epsilon D_{x}^{\alpha} \eta\right|^{2}+\left|D_{y}^{\alpha} u^{*}+\epsilon D_{y}^{\alpha} \eta\right|^{2}\right.\right.\\ &\left.\left.+\left|D_{x}^{\alpha} v^{*}+\epsilon D_{x}^{\alpha} \zeta\right|^{2}+\left|D_{y}^{\alpha} v^{*}+\epsilon D_{y}^{\alpha} \zeta\right|^{2}\right)\right) \mathrm{d} \Omega \end{aligned} J(ϵ)=∫Ω((Ixu∗+ϵIxη+Iyv∗+ϵIyζ+It)2+λ(∣Dxαu∗+ϵDxαη∣2+ Dyαu∗+ϵDyαη 2+∣Dxαv∗+ϵDxαζ∣2+ Dyαv∗+ϵDyαζ 2))dΩ是一个只关于 ϵ \epsilon ϵ的函数，注意 J ( ϵ ) J(\epsilon) J(ϵ)在 ϵ = 0 \epsilon=0 ϵ=0时取极值。我们得到式(2.18) J ′ ( 0 ) = ∫ Ω ( η ( M I x + λ ( D x α ∗ D x α u ∗ + D y α ∗ D y α u ∗ ) ) + ζ ( M I y + λ ( D x α ∗ D x α v ∗ + D y α ∗ D y α v ∗ ) ) ) d Ω J^{\prime}(0)=\int_{\Omega}\left(\eta\left(M I_{x}+\lambda\left(D_{x}^{\alpha *} D_{x}^{\alpha} u^{*}+D_{y}^{\alpha *} D_{y}^{\alpha} u^{*}\right)\right)+\zeta\left(M I_{y}+\lambda\left(D_{x}^{\alpha *} D_{x}^{\alpha} v^{*}+D_{y}^{\alpha *} D_{y}^{\alpha} v^{*}\right)\right)\right) \mathrm{d} \Omega J′(0)=∫Ω(η(MIx+λ(Dxα∗Dxαu∗+Dyα∗Dyαu∗))+ζ(MIy+λ(Dxα∗Dxαv∗+Dyα∗Dyαv∗)))dΩ其中， D α ∗ D^{α∗} Dα∗是右黎曼-刘维尔分数阶导数， M = I x u ∗ + I y v ∗ + I t M=I_xu^∗+I_yv^∗+I_t M=Ixu∗+Iyv∗+It。由于η(x，y)和ζ(x，y)是任意的，所以我们可以得到 ( I x u ∗ + I y v ∗ + I t ) I x + λ ( D x α ∗ D x α u ∗ + D y α ∗ D y α u ∗ ) = 0 (2.19) \left(I_{x} u^{*}+I_{y} v^{*}+I_{t}\right) I_{x}+\lambda\left(D_{x}^{\alpha *} D_{x}^{\alpha} u^{*}+D_{y}^{\alpha *} D_{y}^{\alpha} u^{*}\right)=0\tag{2.19} (Ixu∗+Iyv∗+It)Ix+λ(Dxα∗Dxαu∗+Dyα∗Dyαu∗)=0(2.19) ( I x u ∗ + I y v ∗ + I t ) I y + λ ( D x α ∗ D x α v ∗ + D y α ∗ D y α v ∗ ) = 0 (2.20) \left(I_{x} u^{*}+I_{y} v^{*}+I_{t}\right) I_{y}+\lambda\left(D_{x}^{\alpha *} D_{x}^{\alpha} v^{*}+D_{y}^{\alpha *} D_{y}^{\alpha} v^{*}\right)=0\tag{2.20} (Ixu∗+Iyv∗+It)Iy+λ(Dxα∗Dxαv∗+Dyα∗Dyαv∗)=0(2.20)