线性代数(二) 矩阵及其运算

前言

行列式det(A) 其实表示的只是一个值 ∣ a b c d ∣ = a d − b c \begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad -bc ​ac​bd​ ​=ad−bc，其基本变化是基于这个值是不变。而矩阵表示的是一个数表。

定义

矩阵与线性变换的关系
即得
( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) ( x 1 x 2 . . . x n ) = ( y 1 y 2 . . . y n ) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{m1} & a_{m2} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\...\\y_n\end{pmatrix} ​a11​a21​...am1​​a12​a22​...am2​​............​a1n​a2n​....amn​​ ​ ​x1​x2​...xn​​ ​= ​y1​y2​...yn​​ ​
可以推矩阵乘法

即得中的$y_1=c_{11}=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_m$

矩阵乘法的提前： 第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同

同理可得矩阵加法

增广矩阵

( a 11 a 12 . . . a 1 n y 1 a 21 a 22 . . . a 2 n y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n y n ) ( x 1 x 2 . . . x n − 1 ) = 0 \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n} & y_1\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}& y_2\\ ... & ... & ...& .... & ....\\ a_{m1} & a_{m2} & ...& a_{mn} & y_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\x_n\\-1\end{pmatrix} = 0 ​a11​a21​...am1​​a12​a22​...am2​​............​a1n​a2n​....amn​​y1​y2​....yn​​ ​ ​x1​x2​...xn​−1​ ​=0

特殊的矩阵

矩阵的初等变换

行和列的关系
( x 1 x 2 . . . x n ) ( a 11 a 21 . . . a m 1 a 12 a 22 . . . a m 2 . . . . . . . . . . . . . a 1 n a 2 n . . . a m n ) = ( y 1 y 2 . . y n ) \begin{pmatrix} x_1&x_2&...&x_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & ...& a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & ...& a_{m2}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{1n} & a_{2n} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1&y_2&..&y_n\end{pmatrix} (x1​​x2​​...​xn​​) ​a11​a12​...a1n​​a21​a22​...a2n​​............​am1​am2​....amn​​ ​=(y1​​y2​​..​yn​​)

初等变换与矩阵乘法的关系

E m ( i , j ) = ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 j 行 0 0 0 . . . 0 1 ) m 的 i 行与 j 行对调 ( 1 0 . . . 0 0 0 0 . . . 1 i 行 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 j 行 . . . 0 0 0 0 . . . 0 1 ) m E_m(i,j)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m 的 i行与j行对调 \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 0 & ...& 1_{i行}& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 1_{j行} & ...& 0& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m Em​(i,j)= ​10...00​01i行​...00​...............​00....1j行​0​00....01​ ​m​的i行与j行对调 ​10...00​00...1j行​0​...............​01i行​....00​00....01​ ​m​
E m ( i ( k ) ) = ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1 ) m 的 i 行乘于常数 k ( 1 0 . . . 0 0 0 k i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1 ) m E_m(i(k))=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m 的 i行乘于常数k \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & k_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m Em​(i(k))= ​10...00​01i行​...00​...............​00....10​00....01​ ​m​的i行乘于常数k ​10...00​0ki行​...00​...............​00....10​00....01​ ​m​
E m ( i j ( k ) ) = ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 j 行 0 0 0 . . . 0 1 ) m i 行的 k 倍加到 j 上 ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 k j 行 . . . 1 j 行 0 0 0 . . . 0 1 ) m E_m(ij(k))=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m i行的k倍加到j上 \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & k_{j行} & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m Em​(ij(k))= ​10...00​01i行​...00​...............​00....1j行​0​00....01​ ​m​i行的k倍加到j上 ​10...00​01i行​...kj行​0​...............​00....1j行​0​00....01​ ​m​

矩阵的运算

矩阵乘法运算规律

矩阵的转置

A n ∗ m ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) 转置为 A n ∗ m T ( a 11 a 21 . . . a m 1 a 12 a 22 . . . a m 2 . . . . . . . . . . . . . a 1 n a 2 n . . . a m n ) A_{n*m} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{m1} & a_{m2} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} 转置为 A_{n*m}^T \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & ...& a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & ...& a_{m2}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{1n} & a_{2n} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} An∗m​ ​a11​a21​...am1​​a12​a22​...am2​​............​a1n​a2n​....amn​​ ​转置为An∗mT​ ​a11​a12​...a1n​​a21​a22​...a2n​​............​am1​am2​....amn​​ ​

例如：矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$的转置矩阵就是 B T = ( 1 4 2 5 3 6 ) B^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6\end{pmatrix} BT= ​123​456​ ​

反对称矩阵

方阵的行列式

伴随矩阵

根据行列式和矩阵乘法的公式刚好得出$A{A}^{\ast }=|A|E$

可逆矩阵(或称非奇异矩阵)

结合伴随矩阵的公式

1. 根据$A{A}^{\ast }=|A|E$
2. 结合行列式公式$|AB|=|A||B|$
3. 得出 $|A||A\ast |=|A|$
4. 得出$|A^{\ast }|=1$
5. 所以$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$

共轭矩阵

1. a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
2. 共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数，即 a-bi

举例：

分块矩阵

上述指将矩阵按行或者列分块

分块矩阵的其它性质

利用初等变化转为对角矩阵，方便计算

克拉默法则证明

1. 把方程组写成矩阵方程 Ax = b， 这里$A=(a_{ij}{)}_{n\ast n}$为 n 阶矩阵
2. 因 |A| ≠ 0，故$A^{-1}$存在。令$x=A^{-1}b\Rightarrow Ax=A{A}^{-1}b$，表明$x=A^{-1}b$是方程组的解向量。
3. 由于逆矩阵公式$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$,有$x=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }b$
4. 
5. $x_j=\frac{1}{|A|}(b_1{A}_{1j}+b_2{A}_{2j}+...+b_n{A}_{nj})$
6. $x_j=\frac{1}{|A|}|A_j|(j=1,2,3,...n)$

分块矩阵乘法证明

我们通过验证分块矩阵乘法得到的元素与通用乘法得到元素是否一致，来证明分块乘法的可靠性，以$c_{32}$为例：
c 32 = ( a 31 a 32 a 33 ) ( b 12 b 22 b 32 ) c_{32}= \begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{12} \\b_{22} \\b_{32} \end{pmatrix} c32​=(a31​​a32​​a33​​) ​b12​b22​b32​​ ​
与他对应是$C_{11}=A_{11}{B}_{11}+A_{12}{B}_{21}$中的$c_{32}$
$$c_{32}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{31}& a_{32}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{12}\\ b_{22}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{a}_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{32}\end{array}\right)$$

主要参考

《矩阵的转置》
《克拉默法则》
《共轭矩阵》
《分块矩阵的初等变换（3）行列式不变吗?》
《矩阵分块乘法的原理是怎么样的？》