数学(五) -- LC[415]&[455] 字符串相加与两数相加

1 字符串相加

1.1 题目描述

给定两个字符串形式的非负整数 num1 和num2 ，计算它们的和并同样以字符串形式返回。

你不能使用任何內建的用于处理大整数的库（比如 BigInteger）， 也不能直接将输入的字符串转换为整数形式。

示例 1：
输入：num1 = “11”, num2 = “123”
输出：“134”

示例 2：
输入：num1 = “456”, num2 = “77”
输出：“533”

示例 3：
输入：num1 = “0”, num2 = “0”
输出：“0”

1.2 思路分析

• 算法流程： 设定 $i，j$ 两指针分别指向 num1，num2 尾部，模拟人工加法；
  • 计算进位： 计算 carry = tmp // 10，代表当前位相加是否产生进位；
  • 添加当前位： 计算 tmp = n1 + n2 + carry，并将当前位 tmp % 10 添加至 res 头部；
  • 索引溢出处理： 当指针 i或j 走过数字首部后，给 n1，n2 赋值为 0，相当于给 num1，num2 中长度较短的数字前面填 0，以便后续计算。
  • 当遍历完 num1，num2 后跳出循环，并根据 carry 值决定是否在头部添加进位 1，最终返回 res 即可。

class Solution:
    def addStrings(self, num1: str, num2: str) -> str:
        i, j, carry = len(num1)-1, len(num2)-1, 0
        res = ''
        while i >= 0 or j >= 0:
            n1 = int(num1[i]) if i >= 0 else 0
            n2 = int(num2[j]) if j >= 0 else 0
            n = n1 + n2 + carry
            carry = n // 10
            res = str(n%10) + res
            i, j = i-1, j-1
        return '1'+res if carry else res

复杂度分析：
- 时间复杂度 $O(max(M,N))$：其中 $M，N$ 为 $2$ 数字长度，按位遍历一遍数字（以较长的数字为准）；
- 空间复杂度 $O(1)$：指针与变量使用常数大小空间。

2 两数相加

2.1 题目描述

给你两个 非空 的链表，表示两个非负的整数。它们每位数字都是按照 逆序 的方式存储的，并且每个节点只能存储 一位 数字。

请你将两个数相加，并以相同形式返回一个表示和的链表。

你可以假设除了数字 0 之外，这两个数都不会以 0 开头。

示例 1：
输入：l1 = [2,4,3], l2 = [5,6,4]
输出：[7,0,8]
解释：342 + 465 = 807.

示例 2：
输入：l1 = [0], l2 = [0]
输出：[0]

示例 3：
输入：l1 = [9,9,9,9,9,9,9], l2 = [9,9,9,9]
输出：[8,9,9,9,0,0,0,1]

2.2 思路分析

由于输入的两个链表都是逆序存储数字的位数的，因此两个链表中同一位置的数字可以直接相加。

我们同时遍历两个链表，逐位计算它们的和，并与当前位置的进位值相加。具体而言，如果当前两个链表处相应位置的数字为 $n1,n2$，进位值为 $\text{carry}$，则它们的和为 $n1+n2+\text{carry}$；其中，答案链表处相应位置的数字为 $(n1+n2+\text{carry})\mathrm{mod}10$，而新的进位值为 $\lfloor \frac{n1+n2+\text{carry}}{10}\rfloor$。

如果两个链表的长度不同，则可以认为长度短的链表的后面有若干个 0 。

此外，如果链表遍历结束后，有 $\text{carry}>0$，还需要在答案链表的后面附加一个节点，节点的值为 $\text{carry}$。

# Definition for singly-linked list.
# class ListNode:
#     def __init__(self, val=0, next=None):
#         self.val = val
#         self.next = next
class Solution:
    def addTwoNumbers(self, l1: Optional[ListNode], l2: Optional[ListNode]) -> Optional[ListNode]:
        head = current = ListNode()
        res, newval = 0, 0          # 进位值和余数
        while res or l1 or l2:
            if l1: l1, newval = l1.next, l1.val + newval
            if l2: l2, newval = l2.next, l2.val + newval
            res, newval = divmod(newval,10)
            current.next = current = ListNode(newval)
            newval = res
        return head.next

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\max (m,n))$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为两个链表的长度。我们要遍历两个链表的全部位置，而处理每个位置只需要 $O(1)$ 的时间。
• 空间复杂度：$O(1)$。注意返回值不计入空间复杂度。

3 两数相加 II

3.1 题目描述

给你两个 非空 链表来代表两个非负整数。数字最高位位于链表开始位置。它们的每个节点只存储一位数字。将这两数相加会返回一个新的链表。

你可以假设除了数字 0 之外，这两个数字都不会以零开头。

示例1：
输入：l1 = [7,2,4,3], l2 = [5,6,4]
输出：[7,8,0,7]

示例2：
输入：l1 = [2,4,3], l2 = [5,6,4]
输出：[8,0,7]

示例3：
输入：l1 = [0], l2 = [0]
输出：[0]

3.2 思路分析

• 反转链表 $l_1$
• 反转链表 $l_2$
• 调用 2. 两数相加 的代码，得到链表 $l_3$
• 反转链表 $l_3$ 返回 $l_3$ 作为答案。

class Solution:
    def addTwoNumbers(self, l1: Optional[ListNode], l2: Optional[ListNode]) -> Optional[ListNode]:
        def list_reverse(l):
            prev, curr = None, l
            while curr:
                temp = curr.next
                curr.next = prev
                prev = curr
                curr = temp
            return prev


        def two_numbers(l1: Optional[ListNode], l2: Optional[ListNode]) -> Optional[ListNode]:
            head = current = ListNode()
            res, newval = 0, 0          # 进位值和余数
            while res or l1 or l2:
                if l1: l1, newval = l1.next, l1.val + newval
                if l2: l2, newval = l2.next, l2.val + newval
                res, newval = divmod(newval,10)
                # current.next = current = ListNode(newval)
                current.next = current = ListNode(newval)
                newval = res
            return head.next

        dummy = ListNode(-1)
        l1, l2 = list_reverse(l1), list_reverse(l2)
        return list_reverse(two_numbers(l1, l2))