《信号与系统》附：傅里叶级数与傅里叶变换对比

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

1. 常用公式的对比

公式	傅里叶级数	傅里叶变换
综合公式
分析公式
线性
时移性质
共轭与共轭对称
时间尺度变换
帕斯瓦尔定理
相乘性质

2. 推导过程对比

2.1 傅里叶级数推导

现在来确定系数，综合公式左右同时乘以，得到

将上式在内对积分，

• 当时，是的基波周期的整数倍，也可以说是周期。那么在内对积分的结果就是0.

• 当时，

综合看，上式右侧的求和就变为

所以，

2.2 傅里叶变换推导

假设一个具有有限持续期的非周期信号，定义一个周期信号，使它的一个周期等于，即

将周期信号展开为傅里叶级数，得到

对于上述分析公式来说，因为在时，，因此上面的分析公式可以改写为，

而又由于当时，，那么上式中的积分上下限就可以扩大为无穷，

定义的包络线，

这时所构造的周期信号的傅里叶级数系数就等于，

将代入到的综合公式中，

因为，代入上式得，

随着，趋近于，趋近于0，上式中的求和过渡为一个积分，

其中，

3. 统一框架：连续时间周期信号的傅里叶变换

对于周期信号，也能够建立傅里叶变换表示，这样就可以在统一的框架内考虑周期和非周期信号。事实上，可以直接由周期信号的傅里叶级数表示构造出其傅里叶变换，所得到的傅里叶变换在频域内由一串冲激所组成，各冲激的面积（冲激强度）正比于傅里叶级数系数。

考虑一个信号，其傅里叶变换是一个面积为，出现在处的冲激，即

利用傅里叶逆变换求出，

推广开来，如果一个信号的傅里叶变换是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即

那么可得的表达式，

因此得到结论，一个傅里叶级数系数为的周期信号的傅里叶变换，可以看成出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生在第次谐波频率上的冲激函数面积是第个傅里叶级数系数的倍。