RSA算法原理（一）之欧拉定理

关于什么是RSA，可以查看这篇文章, 今天主要是讲一下RSA底层用的一些算法原理，其实都是一些数学概念，谁让RSA算法是三个数学家发明的。

互质关系

如果两个整数（或者两个以上的整数）的最大公约数是1，则称他们为互质。也就是说两个整数，除了1以外，没有其它的最大公约数了，这两个整数就叫做互质关系。
比如说7，11他们的最大公约数只有1，所以他们互质；8，10他们的最大公约数为1，2，所以这两数不是互质关系。

欧拉函数

欧拉函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，称为欧拉函数
比如说当n=8时，与8能形成互质关系的数有4个，分别是1，3，5，7，所以φ(8)=4
具体φ(n)函数的计算公式，可以分为以下四种情况：

情况一： 当n=1，φ(1)=1

因为1与任何整数都是互质关系，所以当n=1时，φ(1)=1

情况二：当n为质数，φ(n)=n-1

因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系，所以当n为质数时，φ(n)=n-1 。
比如说n=3时，1，2都跟他是互质关系， n=7时，1，2，3，4，5，6都跟他是互质关系。

情况三：n = p^k (p为质数，k为指数，且大于等于1)，n是质数的k次方，则φ(p^k) = p^k - p^(k-1) = p^k（1 - 1/p）

比如：φ(8) = φ(2^3) = 2^3 - 2^2 = 4
φ(27) = φ(3^3) = 3^3(1 - 1/3) = 18

情况四： n是两个互质的整数之积，如：n = p1 * p1，则 φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

比如：φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24

情况五：欧拉函数通式：[图片上传失败...(image-5f0fb9-1523323180027)]

其展开式为： [图片上传失败...(image-5d9beb-1523323180027)]%3Dn(1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bp_%7B1%7D%7D)(1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bp_%7B2%7D%7D)...(1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bp_%7Br%7D%7D)&chs=60)
比如，用通式计算72的欧拉函数为：[图片上传失败...(image-58676a-1523323180027)]
1323的欧拉函数为：[图片上传失败...(image-68ae5e-1523323180027)]%3D%5Cphi(3%5E%7B3%7D%5Ctimes7%5E%7B2%7D)%3D1323(1-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D)(1-%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D)%3D756&chs=60)

同余定理

给定一个正整数n，如果两个整数a和b满足a-b能够被n整除，即(a-b)/n得到一个整数，那么就称整数a与b对模n同余，记作a≡b(mod n)。这就是同余定理。
例如：26≡2(mod 12)， 26%12 余2， 2%12余2， 26-2/12 = 0，所以26与2对模12同余

欧拉定理

在数论中，欧拉定理是一个关于同余的性质,其性质如下：
若n,a为正整数，且n,a互质，则: [图片上传失败...(image-eb8acd-1523323180027)]
首先看一个基本的例子，令a = 3, n = 5