高中奥数 2021-11-06

2021-11-06-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 几何不等式 P103 例8）

Neuberg-Pedoe不等式:设、、、、、分别是位于同一平面上的两个三角形和的各边长,、分别是它们的面积,记

.

求证:.

证明

由柯西不等式,

(这步用到海伦公式).

即.

注海伦公式是指三角形的面积

,

其中.

2021-11-06-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 几何不等式 P104 例9）

设为所在平面上一点,、、分别为的垂心、外心、外接圆半径.求证:.

证明

.

如图,一方面,当时等号成立.

图1

另一方面,由均值不等式有

.

所以.

类似三式相加得

.

由Leibniz公式,设三角形的重心为,有

,

.

两式相减得

,

又由Stewart定理知

.

即得,得证.

注

Leiniz公式是指:对于所在平面上任意一点,设三角形的重心为,则

,

(可以用解析法或Stewart定理证明)

由Stewqrt定理(见第一章知识点)知,

,

于是.

此类最值问题一般思路是:先找出最值点,算出(猜测)最值,再用不等式、几何关系证明您的结论.

2021-11-06-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 几何不等式 P105 例10）

求证:四条边给定的四边形中,内接于圆的四边形面积最大.

证明

先提出一个引理:

设凸四边形的边长为、、、,对角和为(任一组),设四边形的面积为,则

.

其中.

图2

引理证明:

由余弦定理,,

所以.

又,上面两式各自平方后相加得

.

回到原题,对于凹四边形,不妨设在三角形内,则作关于的反射点,四边形与四边各自相同,但后者面积更大.

对于凸四边形,等号成立时当且仅当,即它为圆内接四边形.

综上,对于给定四边长为、、、的四边形,当且仅当它为圆内接四边形时,它有最大面积,其中.