雅克比矩阵在机器人运动学中的应用

以六轴机械臂为例，设机械臂关节空间为q，位置矩阵为p，速度矩阵为v

$$q=[q_0,q_1,q_2,q_3,q_4,q_5]$$

p = [ x , y , z ] T = [ f x ( q ) f y ( q ) f z ( q ) ] p=[x,y,z]^T=\begin{bmatrix}f_x(q) \\ f_y(q)\\ f_z(q) \\ \end{bmatrix} p=[x,y,z]T= ​fx​(q)fy​(q)fz​(q)​ ​
联立机械臂速度矩阵、关节空间和位置矩阵的关系如下

v = p ˙ = ( d f x d t d f y d t d f z d t ) = ( ∂ f x ∂ q 0 d q 0 d t ⋯ ∂ f x ∂ q 5 d q 5 d t ∂ f y ∂ q 0 d q 0 d t ⋯ ∂ f y ∂ q 5 d q 5 d t ∂ f z ∂ q 0 d q 0 d t ⋯ ∂ f z ∂ q 5 d q 5 d t ) = ( ∂ f x ∂ q 0 ⋯ ∂ f x ∂ q 5 ∂ f y ∂ q 0 ⋯ ∂ f y ∂ q 5 ∂ f z ∂ q 0 ⋯ ∂ f z ∂ q 5 ) ( q 1 ⋮ q 5 ) v=\dot p=\begin{pmatrix}\frac {df_x}{dt} \\ \frac {df_y}{dt} \\ \frac {df_z}{dt}\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac {\partial f_x} {\partial q_0}\frac {dq_0} {dt}& \cdots & \frac {\partial f_x} {\partial q_5}\frac {dq_5} {dt} \\ \frac {\partial f_y} {\partial q_0} \frac {dq_0} {dt} &\cdots&\frac {\partial f_y} {\partial q_5} \frac {dq_5} {dt} \\\frac {\partial f_z} {\partial q_0} \frac {dq_0} {dt} &\cdots & \frac {\partial f_z} {\partial q_5} \frac {dq_5} {dt} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac {\partial f_x} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_x} {\partial q_5} \\ \frac {\partial f_y} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_y} {\partial q_5} \\\frac {\partial f_z} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_z} {\partial q_5} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}q_1 \\ \vdots \\ q_5\\ \end{pmatrix} v=p˙​= ​dtdfx​​dtdfy​​dtdfz​​​ ​= ​∂q0​∂fx​​dtdq0​​∂q0​∂fy​​dtdq0​​∂q0​∂fz​​dtdq0​​​⋯⋯⋯​∂q5​∂fx​​dtdq5​​∂q5​∂fy​​dtdq5​​∂q5​∂fz​​dtdq5​​​ ​= ​∂q0​∂fx​​∂q0​∂fy​​∂q0​∂fz​​​⋯⋯⋯​∂q5​∂fx​​∂q5​∂fy​​∂q5​∂fz​​​ ​ ​q1​⋮q5​​ ​

将中间矩阵定义为雅克比矩阵J，则

J = ( ∂ f x ∂ q 0 ⋯ ∂ f x ∂ q 5 ∂ f y ∂ q 0 ⋯ ∂ f y ∂ q 5 ∂ f z ∂ q 0 ⋯ ∂ f z ∂ q 5 ) J=\begin{pmatrix}\frac {\partial f_x} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_x} {\partial q_5} \\ \frac {\partial f_y} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_y} {\partial q_5} \\\frac {\partial f_z} {\partial q_0}& \cdots & \frac {\partial f_z} {\partial q_5} \end{pmatrix} J= ​∂q0​∂fx​​∂q0​∂fy​​∂q0​∂fz​​​⋯⋯⋯​∂q5​∂fx​​∂q5​∂fy​​∂q5​∂fz​​​ ​

$$v=J\dot{q}$$

$$\dot{q}=[{\dot{q}}_0,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,{\dot{q}}_3,{\dot{q}}_4,{\dot{q}}_5]$$

那么雅克比矩阵J可以用来表示从关节速度空间q_dot到关节末端执行空间速度的映射，即一个末端的位置可以由多个关节空间的速度映射得到，即

$$\dot{q}\frac{J}{⟶}v$$

同样，末端执行空间速度F同样可以使用雅克比矩阵映射到关节空间力矩

$$\tau \frac{J^T}{⟶}F$$

$$\tau =J^{T}F$$

例如7轴机械臂，具有冗余的一个关节空间(7x1)q_6，所以在末端执行空间的变换矩阵（6x1）（3x3旋转+3x1平移）进行映射的时候q_6无论处在什么位置，都不会影响末端执行空间的位置和速度，称为零空间