acm-(好题、神题)2020-2021 Winter Petrozavodsk Camp, Day 5 B.Lockout vs tourist

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简要题意：你和tourist一起比赛做题，你们两个每轮同时决策做哪道题，如果选择相同的题目，那么你不得分，比赛继续进行，如果选择了不同的题目，那么你能拿下你选择的这道题的全部分数，比赛结束，tourist想让你得分最少，你想让得分最多，问在双方均采取最优决策的情况下你的期望得分。

这道题一看就非常难以下手，直接给出题解的神仙做法吧。首先tourist的决策一定是基于概率的，我们考虑给每个问题设置一个概率$p_i$，代表$tourist$有$p_i$的概率在当前轮中选择问题$i$，那么为了让你比分最小化，我们需要对于所有可能的$p$数组产生的得分期望取最小值。而对于每个$p$数组你则是想要让得分期望最大化，因此tourist必会考虑让你的最大化期望最小，对于固定的$p$数组你的最大化期望是${\max }_i\{a_i(1-p_i)+b_i{p}_i\}$，其中$b_i$代表除去第$i$道题后在剩下的题中进行最优博弈对应的得分期望(这样可以状压dp处理)，这个式子的意思就是，假如你在当前轮选择做第$i$道题目，那么你有$1-p_i$的概率成功得到这个题目的分数，这时候比赛也就结束了，当然也有$p_i$的概率跟tourist选择了同一道题从而不能拿下该题的分数，这时候的期望分数对应的是一个子问题的博弈结果，即在现有题目基础上除去第$i$道题后对应的博弈结果。而tourist自然会取${\min }_p\{{\max }_i\{a_i(1-p_i)+b_i{p}_i\}\}$，这便是最终博弈对应的答案。

然后还需要观察到一个性质，在对$a$数组从小到大排序之后，满足$\forall i<j,a_i\le a_j,b_i\ge b_j$，这个很容易想明白，接下来我们考虑让上面那个式子的所有$p_i$都为$0$，我们现在有要找一个$p$的分配方案，满足所有$p$之和为$1$并且$a_i(1-p_i)+b_i{p}_i$的最大值最小。令$f_i=a_i(1-p_i)+b_i{p}_i$，由于此时$p_i=0$，因此$f_i=a_i$，函数单调不减，最大值在$f_n$处取得，考虑增加$p_n$看看会发生什么，如果$a_n>b_n$，增加$p_n$会让$f_n$减小，我们看看$f_n$能否减小为$f_{n-1}$，如果能减少到，那么我们考虑继续分配$p$给$p_{n-1}$和$p_n$，看$f_n$和$f_{n-1}$能否减少到$f_{n-2}$…如果减少不到，那么把剩下可用的$p$值全部分给$p_n$即可。如果$a_n<=b_n$，那么不能分配$p$给$p_n$，而是分给其它$p_i$，容易发现无论如何分配都满足$f_i<=f_n$，因为$b_i<=a_n$。此外，再迭代处理的过程中，若发现有$a_i<=b_i$，那么此时可以把剩下的$p$全部分给前面的$p_j(j>i)$，这样$a_i$就是全局能取到的最小值了。

说了这么多感觉还是非常乱，这道题就是非常神仙。 下面直接看看代码吧。

#include 
using namespace std;

const int maxn = 22;
typedef double db;
typedef long long ll;

int c[maxn],tot=0;
db a[maxn],b[maxn];
db dp[1<<maxn];

db solve(int n){
	db sumder=0,sump=0;
	if(a[1]<=b[1])return a[1];
	sumder=1./(a[1]-b[1]);
	for(int i=2;i<=n;++i){
		db deta=a[i-1]-a[i];
		db ad=deta*sumder;
		if(sump+ad>1)return a[i-1]-(1-sump)/sumder;
		if(a[i]<=b[i])return a[i];
		sumder+=1./(a[i]-b[i]);
		sump+=ad; 
	}
	return a[n]-(1-sump)/sumder;
}
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&c[i]);
	sort(c,c+n);
	for(int i=1;i<(1<<n);++i){
		tot=0;
		for(int j=n-1;j>=0;--j){
			if(!((i>>j)&1))continue;
			a[++tot]=c[j];
			b[tot]=dp[i^(1<<j)];
		}
		dp[i]=solve(tot);
	} 
	printf("%.12lf\n",dp[(1<<n)-1]);
}