微积分入门

微积分是一个神秘的学科，分为微分、积分、导数、极限、函数……，今天就带大家微积分入门。这篇文章保证初二学生都能看懂。

可以理解为：积分是加法，微分是除法，积分和微分是逆运算，一个函数的积分的微分等于这个函数。

积分学主要是求面积、体积之类的，维度在四维以下时，可以用公式，当四维及以上时，积分就起作用了。

积分把一个图形给拆成接近无限小的规则物体，再把规则物体的体积（面积）给加起来。

积分分成定积分和不定积分，定积分就是求体积面积这些，不定积分比较抽象。

微分的话是一个函数的 $x$ 的微小变动（ $\Delta x$ ） 以及函数的 $y$ 的微小变动 （ $\Delta y$）的比值。

初二的学生应该都学过一次函数 $y=x$ ，其中，因为 $y=x$，所以 $\Delta x=\Delta y$，所以函数 $y=x$ 的微分就是：
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=1$$

定积分

我们先来引出一道题目：

已知一个圆的半径为 $k$， 需要将它分成 $n$ 份，请列出相应的积分式子

小学的时候，老师可能告诉过我们，只要把圆分成很多份，再首尾相连的连起来，就是一个平行四边形，像这样：

当然，我们不打算这样，因为一小块一小块的圆弧不方便我们进行微积分的运算，所以，我们打算将圆分为一条条竖条，然后用长方形计算公式，计算出每个竖条的面积，再把他们加起来。

我们先了解一下定积分符号：

$${\int }_{最左端}^{最右端}式子dx$$

其中，每个竖条的面积是：

$$\frac{k}{n}x$$
而最右端是 $k$，最左端是 $-k$，得：
$${\int }_{-k}^k\frac{k}{n}xdx$$

再来看梯形：

求：${\int }_1^{4}xdx$

画下图，乍一看，这不就是梯形吗！我们可以用梯形的公式 $S=\frac{(a+b)h}{2}$ 得：
$$\begin{array}{r}S=\frac{(1+4)(4-1)}{2}\\ S=\frac{15}{2}\end{array}$$

当然，我们可以用以下的积分公式，叫幂的积分公式，至于为什么可以这么做，我们到微分这一节再说：

$${\int }_b^a{x}^{k}dx=\frac{1}{k+1}{a}^{k+1}-\frac{1}{k+1}{b}^{k+1}$$

代入公式，得：

$$\begin{array}{r}{\int }_1^{4}xdx=\frac{1}{2}{4}^2-\frac{1}{2}{1}^2\\ =\frac{16}{2}-\frac{1}{2}\\ =\frac{15}{2}\end{array}$$

看到没，与用梯形公式计算的完全符合!

接下来我给一些题目，给大家练习：

$$\begin{array}{r}1){\int }_1^5{x}^{3}dx\\ 2){\int }_2^{5}114514x^{3}dx\\ 3){\int }_{-54188}^{1919}2x^{3}dx\end{array}$$

答案如下：
$$\begin{array}{r}1)625\frac{1}{4}\\ 2)1.74348\times 10^7（近似值）\\ 3)-4.31104\times 10^{18}（近似值）\end{array}$$

由于数据过于庞大，所以作者使用了近似值

这里，我们将扩展幂的积分公式，在看完此文章后，可以试着自己推导这个公式：

$${\int }_b^{a}p{x}^{k}dx=\frac{p}{k+1}{a}^{k+1}-\frac{p}{k+1}{b}^{k+1}$$

微分

微分主要是研究变化，你可以理解为“一个函数的变化率”，不过微分比较抽象，没有积分那么形象。

由于是变化率，所以微分是忽视常量的，这点一定要牢记！

有一些核心的公式需要牢记，比如：乘积的微分公式，商的微分公式。

微分的符号是 ${}^{\prime }$，函数 $y$ 的微分是 $y^{\prime }$，这是乘积的微分公式：

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$
商的微分公式：
$$(\frac{f}{g}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

接下来我们手把手推导幂的微分公式。

在定积分中，我们已经提到了幂的积分公式，那么幂的微分公式怎么推导呢。

我只要举一个 $y=x^2$ 的微分的例子就可以知道了。

假设函数 $y$ 的自变量增长了 $\Delta x$，因变量增长了 $\Delta y$，并且把函数 $y$ 看成正方形，不难画出这个图。

序言说过，$y$ 的微分就等于 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$，在这里 $\Delta y=x\Delta x+x\Delta x=2x\Delta x$，有人可能会说，为什么不加上 $(\Delta x{)}^2$，那时因为 $(\Delta x{)}^2$ 实在太小了，假如 $\Delta x$ 等于 $0.01$，那么它就等于 $0.0001$！所以干脆就忽略它吧！

微分：忽略小部分，保留大部分，求大部分与自变量的比值

这个比如算出来等于 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2x\Delta x}{\Delta x}=2x$

所以：$(x^2{)}^{\prime }=2x$

有了 $y=x^2$ 的微分，我们就可以求幂的微分公式了，不是吗？结合 $x^2$ 的微分以及幂的微分公式，我们可以求出 $x^3$ 以及 $x^4$ 的微分，比如：

乘积的微分公式
$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$
将 $x^3$ 带入公式：
$$\begin{gathered} (x^3{)}^{\prime }=x^{2}x \\ (x^2{)}^{\prime }x+(x^2)x^{\prime } \end{gathered}$$

因为
$$x^{\prime }=1$$

又因为：
$$(x^2{)}^{\prime }=2x$$
得：
$$\begin{gathered} =2x^2+x^2 \\ =x^2(2+1) \\ =3x^2 \end{gathered}$$

所以 $x^3$ 的微分是 $3x^2$，那么再求 $x^4$ 的微分：

$$(x^3{)}^{\prime }x+x^3{x}^{\prime }=3x^3+x^3=4x^3$$

$x^5$ 的微分：
$$(x^4{)}^{\prime }x+x^{4}x=4x^4+x^4=5x^4$$
这时我们发现，不管是几次方，都要把指数作为系数写在前面，并且指数减一，通过乘积的微分公式，我们得出：
$$(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$$
现在你也知道了，幂的积分公式的由来，因为如果说把它转化为 $x$ 的解，你就会得到幂的积分公式

微分的应用

你有一个蛋卷，你要尽可能多的往蛋卷放冰淇淋，请问，已知蛋卷的一边为 $10$,底部半径为 $x$，求 $x$ 等于多少时，蛋筒容积最大

设蛋筒的深度为 $h$, 由勾股定理 $a^2+b^2=c^2$ 得
$$h=\sqrt{100-x^2}$$
由圆锥体的体积公式 $\frac{1}{3}\pi h{r}^2$ 可得
$$y=\frac{1}{3}\pi x^2\sqrt{100-x^2}$$
画图完了是这样的：
大概在 $8.18\mathrm{cm}$

由于根号难以计算，我们决定将函数平方后再微分
$$y^2=\frac{1}{9}{\pi }^2{x}^4(100-x^2)$$

其中 $\frac{1}{9}{\pi }^2$ 是常量，所以就忽视它吧！
$$(y^2{)}^{\prime }=x^4(100-x^2)$$
由于是求最大值，最大值的微分是 $0$，得：
$$\begin{gathered} [100x^4-x^6{]}^{\prime }=0 \\ 400x^3-6x^5=0 \\ {x}^3(400-6x^2)=0 \\ 400=6x^2 \\ {x}^2=\frac{200}{3} \\ x=\sqrt{\frac{200}{3}} \\ x\approx 8.16\mathrm{cm} \end{gathered}$$

不定积分

不定积分和微分一样抽象，与定积分不同，定积分求的是积分后的函数。

比如之前提到的幂的积分公式：

$${\int }_b^{a}p{x}^{k}dx=\frac{p}{k+1}{a}^{k+1}-\frac{p}{k+1}{b}^{k+1}$$

而不定积分的幂的积分公式是：

$$\int p{x}^{k}dx=\frac{p}{k+1}{x}^{k+1}$$
不定积分与微分是逆运算，比如：
$$(\int k{)}^{\prime }=k$$

$k$ 是一个式子

结尾

感觉怎么样？是不是微积分入门了？不管是初中生还是高中生，或多或少听过“微积分”这个名词，现在，即使是学过一点函数的学生，应该也能看懂的。

希望这篇文章能帮助到大家