高中奥数 2022-01-27

斐波那契(Fibonaccia)数列定义如下

它是一个非常著名的数列,围绕它展开的讨论层出不穷,有许多有趣而又深刻的结论.

2022-01-27-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚斐波那契(Fibonaccia)数列 P057 例01）

证明:对任意,都有.即针对Fibonaccia数列的项求最大公因数可以转化到下标上去.

证明

当时显然成立.考虑的情形,不妨设.

利用Fibonaccia数列的递推式,可知

$\begin{aligned} F_{m}=& F_{m-1}+F_{m-2}=F_{2} F_{m-1}+F_{1} F_{m-2} \\ =& F_{2}\left(F_{m-2}+F_{m-3}\right)+F_{1} F_{m-2} \\ =&\left(F_{2}+F_{1}\right) F_{m-2}+F_{2} F_{m-3} \\ =& F_{3} F_{m-2}+F_{2} F_{m-3} \\ & \cdots \\ =& F_{n} F_{m \backsim+1}+F_{n-1} F_{m-n} . \end{aligned}$

于是(这里用到,它可以通过对用数学归纳法证得).

在上面的结论中,用代替继续讨论,表明求与的最大公因数的过程实质上是对下标、作辗转相除.所以.

说明利用本题的结论可证出下述命题:如果为素数,那么或者为素数.

事实上,如果且不是素数,那么可写,,并且.此时,而,,由此导出为合数.

2022-01-27-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚斐波那契(Fibonaccia)数列 P058 例02）

证明:每一个正整数,都可以唯一地表示为如下形式

这里或,,并且不存在下标,使得,其中为Fibonaccia数列中的第项.

证明

形如(1)的正整数表示可称为的表示,它类似于二进制,此结论是著名的Zerkendorf定理.

对归纳来予以证明.

当时,,命题成立.现设对所有小于的正整数命题都成立.

由于存在唯一的,使得,如果,那么已表为(1)的形式,如果,那么由归纳假设有形如(1)的表示,设

其中,则.现在,则,矛盾,所以,从而有满足(1)的表示.

下证的形如(1)的表示是唯一的.

事实上,若

这里,且.

若,则由于不存在下标,使得,结合的定义,可知

$\begin{aligned} \left(b_{l} \cdots b_{2}\right)_{F} & \leqslant\left\{\begin{array}{l} F_{l}+F_{l-2}+\cdots+F_{3}, m \text { 为偶数, } \\ F_{l}+F_{l-2}+\cdots+F_{4}+F_{2}, m \text { 为奇数, } \end{array}\right.\\ &<\left\{\begin{array}{l} F_{l}+F_{l-2}+\cdots+F_{3}+F_{2}=F_{l+1}, m \text { 为偶数, } \\ F_{l}+F_{l-2}+\cdots+F_{4}+F_{2}+F_{1}=F_{l+1}, m \text { 为奇数. } \end{array}\right. \end{aligned}$

因此,故(2)不能都取等式.

所以,进而有两种表示,这与归纳假设不符.所以,的表示唯一.

综上所述,由第二数学归纳法知,命题成立.

2022-01-27-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚斐波那契(Fibonaccia)数列 P058 例03）

熟知任意连续个整数之积是前个正整数之积(即)的倍数.Fibonaccia数列也具有类似的性质.请证明:对任意,数列中任意连续项之积都是前项之积的倍数.

证明

引入记号,,并规定.并写

为证命题成立,只需证明:对任意、,都有.

利用例1中类似的推导过程,知

所以,我们有

$\begin{aligned} R(m, n) &=\frac{F_{m+n} \cdot[m+n-1] !}{[m] ! \cdot[n] !}\\ &=\frac{F_{m+n} \cdot[m+n-1] !}{F_{m} \cdot F_{n} \cdot[m-1] ! \cdot[n-1] !} \\ &=F_{n+1} \cdot \frac{[m+n-1] !}{[m-1] ! \cdot[n] !}+F_{m-1} \cdot \frac{[m+n-1] !}{[m] ! \cdot[n-1] !} \\ &=F_{n+1} \cdot R(m-1, n)+F_{m-1} \cdot R(m, n-1) . \end{aligned}$

上式对、都成立,结合初始情形(对、都成立)及数学归纳法,即可证明都是正整数.

所以,命题成立.

高中奥数 2022-01-27

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