【网络流】专题总结

发现好久没来写总结了

做了一星期+的网络流 还讲了两节课 是时候写个总结了

 

分类：

  最大流： 用sap做 如果是平面图 可以对偶转换再求最短路

  最小割： 求法和最大流一样 方案可以用bfs求

  费用流： 用spfa做 如果时间过不了可以用zkw费用流（虽然我还不会- -）

  上下界：

    建立虚拟源、汇 求虚拟源汇最大流 若满流则有解

    最大流： 先按虚拟源汇跑最大流 再按原本源汇跑最大流

    最小流： 先不连原本汇到源的无穷大边 按虚拟源汇跑最大流 再连原本汇到源的边 再跑一次最大流

    费用最大\最小流： 把上下界最大\最小流的sap改成spfa即可

 

应用：

  减少点的个数：

    看《网络流建模汇总》提到 如果想不出比较高效的建图方法 可以先建一张最简单的图 再按一下规律缩点

    1.如果几个结点的流量的来源完全相同 则可以把它们合并成一个

    2.如果几个结点的流量的去向完全相同 则可以把它们合并成一个

    3.如果从点u到点v有一条容量为∞的边 并且点v除了点u以外没 有别的流量来源 则可以把这两个结点合并成一个

    题目：poj 1149

  入度&出度：

    一些限定入度出度大小 并且有一些双向边让你定向的题目

    可以先随便定一个方向再把源连到入度大于限定额额度的点 把入度小于限定额额度的点连到汇 容量为|入度-限定入度|

    题目：poj 1637、poj 2699　　

  拆点：

    在限制点容量的题目 可以将一个点拆成两个点 将点转换为边 即可限制点容量

    一些有层次性的题目 如不同时间点之间联通性不同 可以把一个点拆成若干点

    题目：很多题目都要拆点- - 就不列举了

  边转换为点：

    如果一条边是有决策性的 如两点二选一 可以把这条边转换为点

    再向它连的点各连一条边 只给这个点1的流量 就能实现二选一的效果

    如果必须选某一个 可以不连另外一条边

    题目：woj 1124

  特殊的线性规划：

    求不等式组的解 其中不等式中的变量都是连续的 把不等式左边加上一个yi 使不等式变等式

    再把相邻的等式做差 这样每个变量在所有的等式中就只会正负各出现一次

    把-xi连向xi 常数根据正负连到源或汇 跑最大流 剩余网络边权即为变量值

 

SAP代码：

传说中神一般的实现，会背即可

 1 int sap(int t,int delta){

 2     if (t==T) return delta;

 3     int mindis=nodes,sum=0;

 4     for (int i=son[t];i;i=line[i].next){

 5         if (line[i].f>0 && dis[line[i].key]+1==dis[t]){

 6                         int save=sap(line[i].key,min(line[i].f,delta-sum));

 7                         sum+=save;

 8                         line[i].f-=save;

 9                         line[line[i].op].f+=save;

10                         if (dis[S]>=nodes || sum==delta) return sum;

11         }

12         if (line[i].f>0) mindis=min(mindis,dis[line[i].key]);

13     }

14     if (sum==0){

15                 if (!--cnt[dis[t]]) dis[S]=nodes;

16                 else ++cnt[dis[t]=mindis+1];

17     }

18     return sum;

19 }

20 int main(){

21     while (dis[S]<nodes) ans+=sap(S,INF);

22 }

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费用流代码：

 1 bool spfa(){

 2     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));

 3     memset(bo,0,sizeof(bo));

 4     dis[S0]=0;

 5     que.push(S0);

 6     while (!que.empty()){

 7         int now=que.front();

 8         que.pop();

 9         bo[now]=0;

10         for (int i=son[now];i;i=line[i].next)

11         if (line[i].f){

12             int ne=line[i].data;

13             if (dis[ne]>dis[now]+line[i].cost){

14                 dis[ne]=dis[now]+line[i].cost;

15                 from[ne]=now;

16                 fl[ne]=i;

17                 if (!bo[ne]){

18                     bo[ne]=1;

19                     que.push(ne);

20                 }

21             }

22         }

23     }

24     return dis[T0]<0x3f3f3f3f;

25 }

26 void work(){

27     int minf=INF;

28     for (int i=T0;i!=S0;i=from[i])

29     minf=min(minf,line[fl[i]].f);

30     for (int i=T0;i!=S0;i=from[i]){

31         int now=fl[i];

32         line[now].f-=minf;

33         line[line[now].op].f+=minf;

34         ans+=line[now].cost*minf;

35     }

36 }

37 int main(){

38     while (spfa()) work();

39 }

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上下界最大流代码（主程序）：

 

 1 for (int i=1;i<=m;i++){

 2     scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&b,&c);

 3     out[x]+=b;

 4     in[y]+=b;

 5     addline(x,y,c-b);

 6 }

 7 for (int i=1;i<=n;i++){

 8     int m=in[i]-out[i];

 9     if (m>0) addline(S0,i,m);

10     if (m<0) addline(i,T0,-m);

11 }

12 SS=S0,TT=T0;

13 addline(T,S,INF);

14 while (dis[SS]<nodes) sap(SS,INF);

15 memset(dis,0,sizeof(dis));

16 memset(cnt,0,sizeof(cnt));

17 cnt[0]=nodes;

18 SS=S,TT=T;

19 while (dis[SS]<nodes) sap(SS,INF);

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上下界最小流代码（主程序）：

 1 for (int i=1;i<=m;i++){

 2     scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&b,&c);

 3     out[x]+=b;

 4     in[y]+=b;

 5     addline(x,y,c-b);

 6 }

 7 for (int i=1;i<=n;i++){

 8     int m=in[i]-out[i];

 9     if (m>0) addline(S0,i,m);

10     if (m<0) addline(i,T0,m);

11 }

12 SS=S0,TT=T0;

13 while (dis[SS]<nodes) sap(SS,INF);

14 addline(T,S,INF);

15 memset(dis,0,sizeof(dis));

16 memset(cnt,0,sizeof(cnt));

17 cnt[0]=nodes;

18 while (dis[SS]<nodes) sap(SS,INF);

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