Hdu 1098 Ignatius's puzzle

1、一开始读题，65|f(x)是什么意思都不清楚，最后百度才知道是f(x)能被65整除。

2、而且写这题完全没有思路，数论不好，我是根据网上的思路写的。

 

思路：
则f(x+1 ) = f (x) +  5*( (13  1 ) x^12 ...... .....+(13  13) x^0  )+  13*(  (5  1 )x^4+...........+ ( 5  5  )x^0  )+k*a;

很容易证明，除了5*(13  13) x^0 、13*( 5  5  )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除.
那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.
而f(1)也正好等于18+k*a：题目的关键是函数式f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x;
事实上，由于x取任何值都需要能被65整除.那么用数学归纳法.只需找到f(1)成立的a,并在假设f(x)成立的基础上,
证明f(x+1)也成立.
那么把f(x+1)展开,得到5*(  ( 13  0 )x^13 +  (13  1 ) x^12 ...... .....+(13  13) x^0)+13*(  ( 5  0 )x^5+(5  1 )x^4......其实就是二项式展开,这里就省略了  ......+ ( 5  5  )x^0  )+k*a*x+k*a;——————这里的( n  m)表示组合数,相信学过2项式定理的朋友都能看明白.

然后提取出5*x^13+13*x^5+k*a*x。

则f(x+1 ) = f (x) +  5*( (13  1 ) x^12 ...... .....+(13  13) x^0  )+  13*(  (5  1 )x^4+...........+ ( 5  5  )x^0  )+k*a;

很容易证明，除了5*(13  13) x^0 、13*( 5  5  )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除.
那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.
而f(1)也正好等于18+k*a

所以,只要找到a,使得18+k*a能被65整除,也就解决了这个题目. 

 假设存在这个数a,因为对于任意x方程都成立，所以，当x=1时f(x)=18+ka;有因为f(x)能被65整出，这可得出f(x)=n*65;

即：18+ka=n*65;若该方程有整数解则说明假设成立。

 

ax+by = c的方程有解的一个充要条件是：c%gcd(a, b) == 0。

 然后枚举直到65*n-18%k == 0为止。

CODE:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include < string.h>
using  namespace std;

int gcd( int a,  int b)
{
     return b ==  0? a:gcd(b, a%b);
}

void swap( int &a,  int &b)
{
     int t = a;
    a = b;
    b = t;
}

int fun( int m,  int n)
{
     if(m < n) swap(m, n);
    gcd(m, n);
     if(!( 18%gcd(m, n)))     return  1;
         return  0;
}


int main()
{
     int m;
     while(~scanf( " %d ", &m))
    {
         if(fun( 65, m))
        {
             for( int i =  1;; i++)
            {
                 if((i* 65- 18)%m ==  0)
                {
                    printf( " %d\n ", (i* 65- 18)/m);
                     break;
                }
            }
        }
         else printf( " no\n ");
    }
     return  0;

} 

 

思路2： 

题意：给出k。求使得f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x对任意x都为65的倍数的a的最小值。

mark：65=13*5。要使f(x)是65的倍数，只需要f(x)是5和13的倍数即可。先来分析13的。

若f(x)是13的倍数，

有5*x^13+13*x^5+k*a*x % 13 == 0，其中13*x^5项显然不用考虑。

则只需5*x^13 + k*a*x是13的倍数，即x*(5*x^12+k*a)是13的倍数。若x是13的倍数，不用考虑。

若x不是13的倍数，则x一定与13互素，因为EulerPhi(13) == 12，从而x^12 % 13 == 1。

所以可知5*x^12 % 13 == 5。

因为要让任意x满足条件，则括号内必为13的倍数，有k*a+5 % 13 == 0，则k*a % 13 == 8。

同理可得k*a % 5 == 2。

据此，若k为5或13的倍数，a一定无解，否则，一定有解。

根据k%5的结果，可能为1、2、3、4，a应分别取5n+2,5n+1,5n+4,5n+3。

枚举a的值，若符合13的条件，则为解。

 

费马小定理：

费马小定理是数论 中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 。

 

 CODE：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include < string.h>
using  namespace std;

int tab5[ 5]={ 0,  2,  1,  4,  3};

int main()
{
     int k;
     while(~scanf( " %d ", &k))
    {
         if(k %  5 ==  0 || k %  13 ==  0)
        {
            printf( " no\n ");
             continue;
        }
         for( int a = tab5[k% 5]; ; a+= 5)
        {
             if(k*a% 13 ==  8)
            {
                 printf( " %d\n ", a);
                  break;
            }
        }        
    }
     return  0;

}