二分查找(详解)

目录

介绍

 思路

循环实现

详解

递归实现1

详解 

注意 

递归实现2 

两个递归代码之间的区别 

总结 

 


介绍

二分查找法,也称为折半查找法,是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。其基本思路是将目标元素与数组中间的元素进行比较,从而可以确定目标元素可能在数组的哪一半,然后逐步缩小搜索范围,直到找到目标元素或确定其不存在为止。

 思路

  1. 确定搜索范围: 首先,确定整个有序数组的搜索范围,即左边界和右边界。通常初始时左边界为数组的第一个元素索引,右边界为数组的最后一个元素索引。

  2. 计算中间元素: 计算左边界和右边界的中间索引,可以使用 (left + right) / 2 进行计算。这个中间元素将用于与目标元素进行比较。

  3. 比较与目标元素: 将目标元素与中间元素进行比较。如果目标元素等于中间元素,则找到了目标,返回中间元素的索引。如果目标元素小于中间元素,则说明目标可能在左半边,更新右边界为中间元素的前一个索引。如果目标元素大于中间元素,则说明目标可能在右半边,更新左边界为中间元素的后一个索引。

  4. 缩小搜索范围: 根据上一步的比较结果,缩小搜索范围。如果目标在左半边,就在左半边继续进行二分查找;如果目标在右半边,就在右半边继续进行二分查找。重复这个过程,不断缩小搜索范围,直到找到目标元素或搜索范围为空。

  5. 重复步骤: 重复执行步骤 2 到步骤 4,直到找到目标元素或搜索范围为空。如果搜索范围为空,说明目标元素不存在于数组中。

二分查找(详解)_第1张图片

二分查找法的关键之处在于每一步都将搜索范围减半,因此它的时间复杂度为 O(log n),其中 n 是数组中元素的数量。相较于线性搜索的 O(n) 时间复杂度,二分查找法在大型有序数组中能够显著提高搜索效率。

然而,二分查找法有一定的前提条件,即数组必须是有序的。如果数组无序,需要先进行排序操作,这会增加额外的时间复杂度。另外,在特定情况下,二分查找法可能不如其他算法高效,例如对于小规模数据或者频繁插入/删除元素的数据结构。

循环实现

from typing import List
class Solution:
  def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
    left = 0
    right = len(nums)-1
    while left <= right:
      # 计算出中位索引
      mid = (right-left)//2 + left
      num = nums[mid]
      if num == target:
        return mid
      elif num > target:
         right = mid - 1
      else:
        left = mid + 1
    return -1

详解

  1. 首先,我们通过 leftright 两个指针来表示当前搜索范围的左右边界。初始时,left 指向数组的第一个元素索引,right 指向数组的最后一个元素索引。

  2. while 循环中,我们首先计算出当前搜索范围的中间索引 mid。这是通过 (right - left) // 2 + left 计算得出的。这个中间索引对应的元素 num 就是我们要和目标元素进行比较的值。

  3. 接下来,我们将 num 与目标元素 target 进行比较。有三种情况:

    • 如果 num 等于 target,则说明我们已经找到目标元素,可以返回 mid
    • 如果 num 大于 target,说明目标元素可能在当前中间元素的左边,所以我们将 right 更新为 mid - 1,缩小搜索范围到左半部分。
    • 如果 num 小于 target,说明目标元素可能在当前中间元素的右边,所以我们将 left 更新为 mid + 1,缩小搜索范围到右半部分。
  4. 循环会继续执行,不断更新 leftright,直到 left 大于 right,即搜索范围为空,或者直到找到目标元素为止。

  5. 如果循环结束时仍未找到目标元素,那么我们返回 -1,表示目标元素不存在于数组中。

递归实现1

def search(nums, target: int) -> int:
  left = 0
  right = len(nums)-1
  if nums !=[]:
    mid = (left + right)//2
    if target > nums[mid]:
      return search(nums[mid+1:],target)
    elif target < nums[mid]:
      return search(nums[:mid],target)
    else:
      return 1
  else:
    return -1

详解 

  1. 首先,我们通过 leftright 两个指针来表示当前搜索范围的左右边界。初始时,left 指向数组的第一个元素索引,right 指向数组的最后一个元素索引。

  2. 然后,通过判断 nums 是否为空数组来决定是否进行递归。如果 nums 不为空,我们进入递归的判断过程。

  3. 在递归判断中,我们首先计算出当前搜索范围的中间索引 mid,通过 (left + right) // 2 计算得出。注意,这里没有加上 left,因为我们将对子数组进行递归,所以 mid 是相对于子数组的索引。

  4. 接下来,我们将 nums[mid] 与目标元素 target 进行比较。有三种情况:

    • 如果 target 大于 nums[mid],则说明目标元素可能在当前中间元素的右边,所以我们对 nums[mid+1:] 进行递归查找,返回递归结果。
    • 如果 target 小于 nums[mid],则说明目标元素可能在当前中间元素的左边,所以我们对 nums[:mid] 进行递归查找,返回递归结果。
    • 如果 target 等于 nums[mid],则说明我们已经找到目标元素,返回 1
  5. 如果数组为空(即 nums 为空),那么直接返回 -1,表示目标元素不存在于数组中。

注意 

递归的结束条件是 nums 为空,或者在递归过程中找到目标元素。这种递归实现在思想上与循环实现类似,不过它将搜索过程拆分为递归的子问题,每次通过截取子数组来缩小搜索范围

递归实现2 

def search2(nums, target, left, right):
  if left <= right:
    mid = (left + right) // 2
    if target > nums[mid]:
      left = mid + 1
      return search2(nums, target, left, right)
    elif target < nums[mid]:
      right = mid - 1
      return search2(nums, target, left, right)
    else:
      return mid
  else:
    return -1

两个递归代码之间的区别 

  1. 函数签名:

    • 第一个代码片段中,函数 search 只接受 numstarget 作为参数,并在函数内部初始化 leftright
    • 第二个代码片段中,函数 search2 接受 numstargetleftright 四个参数,这些参数直接影响递归调用时的搜索范围。
  2. 返回值:

    • 第一个代码片段在找到目标元素时返回了固定的值 1,而应该返回 mid 作为目标元素在数组中的索引。
    • 第二个代码片段在找到目标元素时返回了 mid,正确地表示了目标元素在数组中的索引。
  3. 递归调用:

    • 第一个代码片段在递归调用时通过切片来截取子数组,这会产生额外的空间和时间开销。
    • 第二个代码片段通过在递归调用时更新 leftright 来缩小搜索范围,避免了切片操作,从而提高了效率。

总结 

第二个递归代码更接近标准的二分查找递归实现,正确返回目标元素的索引,而且在递归调用时通过更新参数来实现搜索范围的调整,避免了切片操作,从而更加高效。

 

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