最小生成树——Kruskal算法

Kruskal算法简介 & 基本思想

$Kruskal$算法是一种用于解决最小生成树问题的贪心算法。最小生成树问题是指在一个连通图中找到一棵包含所有顶点的树，且树的边权重之和最小。

$Kruskal$算法的基本思想是从图中的边集合中选择权重最小的边，并且保证选择的边不会构成环，直到选择了$n-1$条边为止（$n$为图中顶点的个数）。

Kruskal算法步骤

1. 将图中的所有边按照边权从小到大进行排序。这可以使用快速排序、归并排序等排序算法来实现，但是通常使用sort排序函数。

2. 创建一个空的边集合，用于存储最小生成树的边。开始时，这个集合是空的。

3. 创建一个并查集，用于判断选择的边是否会构成环。并查集是一种用于处理不相交集合的数据结构，它支持合并集合和查找元素所属集合的操作。开始时，每个顶点都是一个独立的集合。（关于并查集，请看文章并查集）

4. 遍历边集合，依次选择权重最小的边。

5. 对于每条选择的边，判断它的两个顶点是否属于同一个集合。这可以通过并查集的查找操作来实现。如果两个顶点属于不同的集合，则选择的边不会构成环，可以将其加入边集合中。

6. 如果选择的边会构成环，则舍弃该边，继续遍历下一条边。

7. 重复步骤$4-6$，直到选择了$n-1$条边。这样就构建了一棵最小生成树。

Kruskal算法时间复杂度

Kruskal算法的时间复杂度主要取决于对边集合的排序操作，通常为O(ElogE)，其中E为边的数量。并查集的操作时间复杂度为O(logV)，其中V为顶点的数量。

关于Kruskal的其它

Kruskal算法的优点是简单且易于实现，适用于稀疏图。它不需要事先知道图的具体结构，只需要给出边的集合即可。另外，Kruskal算法可以处理带有负权边的图。

然而，Kruskal算法并不适用于存在负权环的图，因为负权环会导致算法无限循环。此外，Kruskal算法不能处理不连通图，因为最小生成树要求图是连通的。

总结起来，Kruskal算法通过选择权重最小的边，并使用并查集来判断是否构成环，逐步构建最小生成树。它是一种高效且简单的算法，常用于解决最小生成树问题。

Kruskal板题 & 讲解

洛谷P3366【模板】最小生成树

【模板】最小生成树

题目描述

如题，给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

输入格式

第一行包含两个整数 $N,M$，表示该图共有 $N$ 个结点和 $M$ 条无向边。

接下来 $M$ 行每行包含三个整数 $X_i,Y_i,Z_i$，表示有一条长度为 $Z_i$ 的无向边连接结点 $X_i,Y_i$。

输出格式

如果该图连通，则输出一个整数表示最小生成树的各边的长度之和。如果该图不连通则输出 orz。

样例 #1

样例输入 #1

4 5
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 3

样例输出 #1

7

提示

数据规模：

对于 $20\%$ 的数据，$N\le 5$，$M\le 20$。

对于 $40\%$ 的数据，$N\le 50$，$M\le 2500$。

对于 $70\%$ 的数据，$N\le 500$，$M\le 10^4$。

对于 $100\%$ 的数据：$1\le N\le 5000$，$1\le M\le 2\times 10^5$，$1\le Z_i\le 10^4$。

样例解释：

所以最小生成树的总边权为 $2+2+3=7$。

代码

这题非常简单，直接套模板！！

#include
using namespace std;
struct edge { int x,y,v; } a[10000000];
int m,n,x,k,ans,f[100000];
int fr(int t)		//并查集的查找祖先函数
{
    if(f[t]!=t)
		f[t]=fr(f[t]);
    return f[t];
}
void mer(int r1,int r2)		//并查集的合并函数
{
    f[fr(r2)]=fr(r1);
}
bool cmp(edge a,edge b)		//sort排序所需的函数
{
    return a.v<b.v;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].v);	//输入
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)	//初始化并查集
		f[i]=i;
    sort(a+1,a+m+1,cmp);	//排序
    for(int i=1;i<=m;i++)	//Kruskal
    {
        if(fr(a[i].x)!=fr(a[i].y))
        {
            mer(a[i].x,a[i].y);
            ans+=a[i].v;
            k++;
        }
        if(k==n-1)
        {
        	printf("%d",ans);
        	return 0;
		}
    }
    printf("orz");
    return 0;
}