机器学习数学基础之高数篇——简单的泰勒公式（python版）

不少同学一提到泰勒公式，脑海里立马浮现高大上的定义和长长的公式，令人望而生畏。

实际上，泰勒公式没有那么可怕，它是用简单的多项式来逼近一个光滑的函数，从而近似替代不熟悉的函数。由于泰勒公式具有将复杂函数近似成多个幂函数叠加形式的性质，可以用它进行比较、求极限、求导、解微分方程等。

我们先来看一下泰勒公式的发明者，布鲁克·泰勒——

布鲁克·泰勒（Brook Taylor,1685-1732）,英国数学家，牛顿学派最优秀的代表人物之一，他于1712年的一封信里首次叙述了泰勒公式。

再来看一下高数书上对泰勒公式的定义：

公式3-5就称为f(x)在x0处的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。

初看这个泰勒公式的定义，就觉得恢宏大气，气势磅礴。不过光从泰勒公式的定义，很难直观看出它是怎么用多项式逼近原函数的。接下来我们用图像和图表来感受一下——

这里我们先列举出f(x) = cosx在原点的泰勒2阶、4阶、6阶、8阶、10阶的多项式，并用图像表示该函数及其泰勒n阶多项式。

2阶多项式：
$$g(x)=1-\frac{1}{2!}{x}^2$$
4阶多项式：
$$g(x)=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4$$
6阶多项式：
$$g(x)=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6$$
8阶多项式：
$$g(x)=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6+\frac{1}{8!}{x}^8$$
10阶多项式：
$$g(x)=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6+\frac{1}{8!}{x}^8-\frac{1}{10!}{x}^{10}$$

对应图像如下，其中黑色线条为原函数f(x)，彩色线条为多项式g(x)。可以看到随着阶数的增大，多项式在更大范围内越来越逼近原函数。

我们再用python实现函数y=cosx的泰勒n阶多项式，并与y=cosx的实际值进行比较，其中令n=40。

def f_cos(x):
    m = 20+1
    sum = 1.0
    for i in range(1,m): #range函数取值是左闭右开
        n = 2 * i 
        tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1
        for j in range(1,i+1):
            tmp1 = -tmp1             
        for j in range(1,n+1):                    
            tmp2 = tmp2*x
            tmp3 = tmp3*j
        sum = sum + tmp1*tmp2/tmp3
    return sum

from numpy import *
for x in range(-20,21):
    print("x = " + str(x))
    print("f_cos(x) = " + str(f_cos(x)))
    print("cos(x) = " + str(cos(x)))

比较自定义的f_cos(x)和numpy库的cosx的误差：

x取值	自定义的f_cos(x)	numpy库的cosx	误差（f_cos(x) - cos(x)）	分析
20	2577.3069	0.4081	2576.8988	误差非常大
19	305.1701	0.9887	304.1814	误差较大
18	32.5969	0.6603	31.9366	存在误差
17	2.6676	-0.2752	2.9428	存在误差
16	-0.7234	-0.9577	0.2343	存在0.1级误差
15	-0.7439	-0.7597	0.0158	存在0.01级误差
14	0.1376	0.1367	0.0009	存在0.0001级误差
13	0.9075	0.9074	0.0000	精度范围内一致
12	0.8439	0.8439	0.0000	精度范围内一致
11	0.0044	0.0044	0.0000	精度范围内一致
10	-0.8391	-0.8391	0.0000	精度范围内一致
9	-0.9111	-0.9111	0.0000	精度范围内一致
8	-0.1455	-0.1455	0.0000	精度范围内一致
7	0.7539	0.7539	0.0000	精度范围内一致
6	0.9602	0.9602	0.0000	精度范围内一致
5	0.2837	0.2837	0.0000	精度范围内一致
4	-0.6536	-0.6536	0.0000	精度范围内一致
3	-0.9900	-0.9900	0.0000	精度范围内一致
2	-0.4161	-0.4161	0.0000	精度范围内一致
1	0.5403	0.5403	0.0000	精度范围内一致
0	1.0000	1.0000	0.0000	精度范围内一致

由于f(x) = cosx函数关于y轴对称，这里只列举出了x轴右半部分[0,20]的范围，x轴左半部分的结果与右半部分结果相同。

在[0,20]范围内，当x=20时，二者的误差非常大。随着x的减小，二者的误差也在逐渐减小。在[0,13]范围内，二者在精度范围内完全一致，几乎零误差。

大家可以尝试一下，把n的值调大，这个精度一致的范围会变大。例如此例若n=30，即y=cosx的泰勒30阶多项式，则在[-20,20]范围内，二者精度都完全一致。感兴趣的同学可以运用同样的方法，分析一下其他函数。

再试着写出函数y=sinx的泰勒n阶多项式的python程序，其中n=19。

def f_sin(x):
    m = 10+1
    sum = 0.0
    for i in range(1,m):
        n = 2 * i - 1     
        tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1
        for j in range(1,i):
            tmp1 = -tmp1  
        for j in range(1,n+1):          
            tmp2 = tmp2*x
            tmp3 = tmp3*j
        sum = sum + tmp1*tmp2/tmp3 
    return sum

from numpy import *
for x in range(-20,21):
    print("x = " + str(x))
    print("f_sin(x) = " + str(f_sin(x)))
    print("sin(x) = " + str(sin(x)))

后续会继续增加一些函数的泰勒n阶多项式python程序（可能会偷懒）。

最后推荐一个比较好用的在线画函数的工具Desmos：

https://www.desmos.com/calculator?lang=zh-CN

简易教程:

https://www.ravenxrz.ink/archives/27d14722.html

还可以用著名的心形线画个爱心哦：

工欲善其事必先利其器，大家有什么好用的工具，可以评论区推荐一下。