算法随笔：图论问题之割点割边

割点

定义

割点的定义：如果一个点被删除之后会导致整个图不再是一个连通图，那么这个顶点就是这个图的割点。举例：

 上图中的点2就是一个割点，如果它被删除，则整个图被分为两个连通分量，不再是一个连通图。

求割点的方法

最直观容易想到的一种简单朴素的方法：

依次删除每一个顶点，然后用dfs或者bfs来检查图是否依然连通。如果删除某个顶点后，导致图不再连通，那么刚才删除的顶点就是割点。

这种方法的时间复杂度是O(N(N+M))。显然不是一个高性能的算法。

考虑更高性能的算法：

考虑从根节点开始进行DFS遍历，遍历的同时记录每个节点的遍历顺序（又称为时间戳）到数组num。如下图：

圆圈中数字是顶点编号， 圆圈右上角的数表示这个顶点的“时间戳” 。

那么在遍历过程中如何判断割点？见下表：

节点类型	判断方法	解释
根节点	对于根节点，有两棵及以上不相连的子树，则根节点是割点	很显然如果根节点有两棵及以上的不相连的子树，那么根节点被删除之后整个图将会不再是一个连通图，会被划分为多个连通块。
非根节点	对于非根节点，u的直接子v或者v的后代没有回退到u的祖先的边（没有不经过u直接回到u的祖先的路径），则u不是割点，否则是。	如果非根节点u的子节点v及v的后代节点有路径可以不经过点u回退到u的祖先，那么这个点即使被删除，整个图依然是连通的。

那么该算法具体如何实现呢？

定义一个数组low来记录每个顶点在不经过父顶点时，能够回到的最小“时间戳”。

对于某个顶点u，如果存在至少一个顶点v（u的儿子），使得low[v]>=num[u]，即不能退回到祖先，顶多退回到顶点u，那么u点为割点。

示例代码（POJ1144）

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 1e2 + 10;
const int INF = 0x3fffffff;
const int mod = 1000000007;
int num[maxn];      // 记录每个点的dfs遍历顺序
int low[maxn];      // low[v]记录v和v的后代能连回到的祖先的num
int dfn;            // 记录进入递归的顺序（也称为时间戳）
bool isCut[maxn];   // 标记割点
vector G[maxn];

void dfs(int u, int fa) {       // 当前节点u，u的父节点fa
    low[u] = num[u] = ++dfn;    // 记录该点的遍历顺序，该点的low值初始等于num
    int child = 0;              // 子树数目
    for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {     // 处理u的所有子节点
        int v = G[u][i];
        if (!num[v]) {  // v没访问过
            child++;
            dfs(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);       // 用后代的返回值更新low值，从v以及v的后代可以回退到的祖先的num值
            if (low[v] >= num[u] && u != 1) {   // 对于非根节点，u的直接子v或者v的后代没有回退到u的祖先的边，则u是割点
                isCut[u] = true;
            }
        } else if (num[v] < num[u] && v != fa) {    // 处理回退边
            low[u] = min(low[u], num[v]);
        }
    }
    if (u == 1 && child >= 2) {     // 对于根节点，有两棵以上不相连的子树，则根节点是割点
        isCut[1] = true;
    }
}

void solve() {
    int n, ans;
    while (cin >> n, n) {
        if (n == 0)
            break;
        memset(low, 0, sizeof low);
        memset(num, 0, sizeof num);
        dfn = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            G[i].clear();
        }
        int a, b;
        while (cin >> a, a) {
            while (cin.get() != '\n') {
                cin >> b;
                G[a].push_back(b);
                G[b].push_back(a);
            }
        }
        memset(isCut, 0, sizeof isCut);
        ans = 0;
        dfs(1, 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans += isCut[i];
        }
        cout << ans << endl;
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cout << fixed;
    cout.precision(18);

    solve();
    return 0;
}

割边

定义

如果在一个无向图中删除某条边后，图不再连通，那么这条边叫做割边（又称桥）。举例：

求割边的方法

只需将求割点的算法修改一个符号就可以。 只需将low[v]>=num[u]改为low[v]>num[u]。

这是为什么呢？

low[v]和num[u]相等则表示还可以回到父亲结点； 而low[v]>num[u]则表示连父亲都回不到了。倘若顶点v不能回到祖先，也没有另外的路能回到父亲，那么 u-v 这条边就是割边。

割边代码

……后边补上……

注：本文的部分内容和图片参考了 https://www.cnblogs.com/ljy-endl/p/11595161.html