Scratch 详解 之 线性→代数之——求两线段交点坐标

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        可能有人要问:求交点坐标有什么用呢?而且为啥要用线代来求?直线方程不行吗???

        这个问题,我只能说,直线方程计算的次数过多了,而且动不动就要考虑线的方向,90°的直线的斜率不存在,所以用向量(也就是线性代数)来算更好点。至于有什么用处,也许一些算法需要吧,比如计算一线是否与矩形相交来进行判定。

        本教程涉及线代的内容较少,除了思想,你还会学到:

        如何判断两线段是否相交?相似三角形的性质。一点到另一点的方向。三角函数相关知识。

        还有,向量叉乘的正负特性,向量叉乘的计算,单位向量的计算,一点至另一点的向量表示方法,向量的数量积(点积)的几何意义与计算。


线性代数的运用举例:

  1. 求交点(本教程)
  2. 将凹多边形分为三角形(用于渲染)
  3. 距离一条直线最短的点(叉乘)
  4. 各种方向判断问题。

Part 1:怎样判断线段是否相交?

        此部分需要先理解向量叉乘的意义,我先通俗地讲一下

        首先,看下图。

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        我们有两个向量v与向量w,那么v(向量两字省略,后面也是如此)与w所形成的平行四边形的面积,就是v×w的结果(×即为叉乘),但是叉乘具有正负性

        如果v在w的左边,那么v×w<0(也就是负的),

        如果v在w的右边,那么v×w>0(也就是正的),

        当v与w重合或相反,很容易想到结果是0(没有张成平行四边形),

        总结一下,顺时针负,逆时针正。

        对了,对于一个向量[x1,y1]与向量[x2,y2],他们的叉乘就是这两个向量的行列式(这句可以看不懂),也就是x1*y2-x2*y1。


        根据以上结论,我们就可以开始研究两条线怎样才会相交。

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相交示意图

        如图,线段AB与线段CD相交,连接AB的端点到CD形成向量a,b,c,d。

        我们发现,a叉乘b的结果与d叉乘c异号。

        再来看不相交的。

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不相交示意图

        向量a叉乘b与d叉乘c的的符号一样

        接下来看看特殊的。

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特殊的不相交

        这次a叉乘b与d叉乘c的符号不同,这种错误要把d与b互换就行了,如下图:

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        更正后的(注意向量叉乘时要让端点在同一个地方。

        这回,a叉乘b与d叉乘c的符号又相同了!

        总结一下,若a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4),(都是向量)那么上面的一大堆用数学来表示就是下面这个图:

        上图中,×代表叉乘,·代表乘法,相乘大于等于就是同号的意思啦。

        或者把“或”改为“与”,然后把≥改为<,那么线段就相交,反之不相交。


接下来开始用代码实现!

        这里呢,我先简简单单地做了一个绘制系统:

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然后,创建一个自制积木

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        那么,我们就可以写下这样的代码,来实现判断两线段是否相交:先计算a,b,c,d的向量,然后根据叉乘公式(别忘了,就是行列式:x1*y2-x2*y1),进行判断

        那向量怎么求呢?

        这个问题有个公式,对于在平面直角坐标系内的点A(x1,y1)与点B(x2,y2)向量AB即为[(x2-x1),(y2-y1)]

        我们直接上代码。

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计算向量

        首先是计算向量,然后保存在缓存里面,并且初始化返回值。接下来我们要进行叉乘,并且判断是否<0,如下图:

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叉乘并判断

        这样,一个香蕉 相交判断就做完力,可要是判断线段是否在线上,那该怎么弄呢?

        我们知道,如果一个向量与另一个向量的夹角为0°或者180°,那么他们的叉乘为0。在线上时,两个向量分别指向另外两个端点,就形成了180度;

        如果这个点在另条线段的延长线上,那么这两个向量的夹角是0°;

        那如果点在端点上呢?

        想想看,那么一个向量的模长(长度)就是0了,好像怎么叉乘还是0。

        那么这3种可能都会出现叉乘为0,我们就可以加上等于0的判断,返回相应的值。,如下图:

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Part 2:计算交点

        部分1总算是写完了,接下来便是交点坐标的计算。

1.理清思路。

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线段AB与CD交于点E

        如图,点H为C投影至AB的点,G同理。(投影就是向它做垂线),投影长度分别为d1,d2。

        我们要求的是点E的坐标,为此,我先讲一下:什么是相似三角形?(六年级即可懂,初三及以上学生请跳过)

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两个三角形

        如图,AB平行于CF平行于DE,由于平行线,我们知道图中有大多相同的角,都已经标在图中。

        我们观察一下,这两个三角形三个角(或者两个)是一样的(真的),但是他们并不全等,像这样三个角都相等的两个三角形,我们称它们相似(不知道准不准确啊,我才初一()

        对于两个相似三角形,它们的对应边长的比值都是相等的。比如:

        AB/BC=DE/DC , AB/DE=AC/CE。

        不知道你有没有看懂,反正就这些了。

再来看刚刚的图:

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求交点E的坐标

        首先,我们看三角形DGE与三角形CHE,由于俩对顶角相等(∠CEH与∠GED),而且由于是投影,所以有个角都是90度,所以,这两个三角形相似

        相似?那就是比值相等呗!那不就是交点(x, y)距离两点的比例则和d1, d2的比例相同吗?(d1/d2=EH/GE)

        我们看看,EH占GH的几分之几呢?是EH/GH吧,现在,由于比例相同,我们可以把EH/GH写成d1/(d1+d2)的形式{也就是EH/GH=EH/(EH+GE)=d1/(d1+d2)}。

        同理,GE/GH也能写成d2/(d1+d2)的形式{也就是GE/GH=GE/(EH+GE)=d2/(d1+d2)}。

        哎,权重(占比)知道了,坐标不就好办了嘛!(x,y)就是 H坐标*占比+G坐标*占比啊,即

注意权重不要写反了


2.计算投影。

        你肯定要问我:d1,d2咋算啊???还有,你投影坐标是个啥???

        这就要说一下向量点积(·)的几何意义了。

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向量点积示意图

        向量点积的几何意义是,一个向量向另一向量投影,然后再乘上另一向量的长度(模长)之后的点与端点的距离。在图中,向量AB·向量AD得到AE的长度,即AC*AD。

        坐向量点积公式1(坐标系):a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=x1*x2+y1*y2。其中,a和b分别为两个向量,(x1,y1)和(x2,y2)

        向量点积公式2(几何):a·b=|a|*|b|*cosθ,θ是a,b的夹角

        向量叉乘公式(几何):a·b=|a|*|b|*sinθ,θ是a,b的夹角

        哎,我们发现有个投影!那如果上面公式中b的模长(长度)为1呢?

        由于点积的几何意义,当b的模长为1时,a·b就是a向b的投影!

        那我们就可以计算投影了。

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“投影”

        给定一个直线外点(x0, y0)和直线上两点(x1, y1), (x2, y2),计算投影点(x, y)。

        如何把向量AB投影至向量AC

        首先,求出AC的单位向量(模长为1,紫色),然后向量AB·紫色向量,就得到了AD的长度,最后,求出AC的方向,在AC方向上移动AD长度,就是点D的坐标啦。(耶)

        至于AC方向怎么求,可以用反三角函数——arctan来求,这里不多说,直接上代码。

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        接下来,怎么求出单位向量?

        对于一个向量[x,y]它的单位向量是[x/√(x^2+y^2),y/√(x^2+y^2)],其实就是向量除以模长。如下图:

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单位向量公式

        那么就剩点积了。

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点积

        接下来我们就可以计算投影了。

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一半的投影(由于可能要用缓存,所以使用的是倒数第1和2项)

        啊,我们求出AD长度和方向,但怎么知道他的横纵坐标呢?

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求A'B与BD

        这是刚刚那幅图的一部分,我们要求的是AB的x长度和y长度(横纵坐标差),也就是A'B与BD

        因为∠AA'B=90°,所以三角形AA'B为直角三角形

        对于直角三角形,我们有一个定理:每个角度的三角形三个边都有一个固定的比值。

        也就是说,在三角形AA'B中,A'B/AB与AA'(长度也就是BD)/AB的值是固定的。

        在这里,我们把AA'叫做角a的邻边,A'B叫做角a的对边,AB叫做角a的斜边。(可以不记住)

        我们把对边与斜边的比叫做正弦,记作sin,即sin a=对/斜;

        邻边与斜边的比值叫做余弦,记作cos,即cos a=邻/斜;

        还有正切(tan)和反三角等函数,感兴趣的可以自己搜,我们这次只用sin和cos。

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        我们知道AB与角a的值了,那A'B和A'A就很好求了,

        sin a=A'B/AB,AB*sin a=A'B/AB*AB=A'B(求出来了!)

        cos a=A'A/AB,AB*cos a=A'A/AB*AB=A'A

        那么横纵坐标差也就求出来了,代码如下所示:

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投影

        不要忘记还要算出投影距离(勾股定理)

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        最终代码如图所示

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        更改绘制代码

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图像

        我们发现投影是个垂线,说明程序正常。(在做程序时要养成检测的习惯!)wonderful!


3.计算交点坐标

刚刚推出的公式

        这是我们刚刚推出的交点坐标公式,在这里,d1,d2和x6,y6,x5,y5我们都可以算出来,那么x,y也就出来了!

        首先,我们要先把一个线段投影到另一个线段上

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线段交点坐标的一部分

        然后,算出每个点的权重(就是d1 d2那个):

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线段交点坐标的一部分*2

        最后,将权重与点坐标相乘并相加,即为相交点坐标。

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线段交点坐标(全)


Part 3:结尾

        到此,两个线段的交点坐标已经做完了,以下是全部代码:

所有代码

        在绘制与移动区域内,我添加了透明度变化,防止混淆。

        我们来测试一下。

效果展示


资源下载链接

        不想写代码的,可以下载这个配套资源:Scratch 教程作品:线段交点坐标

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