矩阵的常用运算法则

矩阵的概念

把由$m\times n$个数$a_i(i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n)$排列成$m$行$n$列的数表，称为$m$行$n$列的矩阵。

特别的，如果$m=n$，则称为方阵；如果只有一列矩阵则称为列矩阵或者列向量；同样的只有一行，则称为行矩阵或者行向量。

如果元素都为0，则称为零矩阵，记作$O$。

如果所有元素对应相等，则称两矩阵相等。

矩阵的数学意义其实就是映射。

矩阵的加法

只有行数和列数对应相同的两个矩阵才能相加，对应元素相加。
矩阵加法的运算规律：

• $交换律：A+B=B+A$
• $结合律：(A+B)+C=A+(B+C)$
• $负矩阵：A+(-A)=O$
• $减法：A-B=A+(-B)$

矩阵的乘法

1. 数乘：
   $\lambda A=A\lambda ,\lambda 和矩阵每个元素相乘；$
   运算规律：
   • $(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A);$
   • $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A;$
   • $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B;$
2. 矩阵乘法

• $结合律:(AB)C=A(BC)$
• $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$
• $A(B+C)=AB+AC$
• $(B+C)A=BA+CA$
• $EA=AE=A,其中E为单位矩阵$

矩阵的转置

• $(A^T{)}^T=A$
• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
• $(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

特别的，满足$A^T=A$的矩阵，称为对称矩阵。

矩阵的逆

对于方阵$A,B$,满足：
$AB=BA=E，其中E为单位矩阵，则称A是可逆的，B为A的逆矩阵，记作A^{-1}$

若矩阵可逆，则其行列式不为0。反之亦然。

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }，其中A^{\ast }为伴随矩阵$

矩阵的行列式

1. $|A^T|=|A|$
2. $|\lambda A|={\lambda }^n|A|$
3. $|AB|=|A||B|$

矩阵的导数

几个常用的求导公式：
$$\frac{\partial \beta \mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}=\beta$$
$$\frac{\partial {\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}=2\mathbf{x}$$
$$\frac{\partial {\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}A\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}=(A+A^T)\mathbf{x}$$

具体见参考文献：
CSDN:矩阵求导、几种重要的矩阵及常用的矩阵求导公式

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参考资料

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[1] 《工程数学线性代数》（同济大学第6版），第2章