积分代换和周期函数

昨晚上看书，有一个稳定随机过程的例题，涉及积分上下限代换、周期函数的微积分性质等知识点。这种题型以前肯定接触过，当下遇到了，思维仍然迷迷糊糊，像是一团乱麻，纠缠不清，照着答案思考了半天，短时间也转不过弯来，特此学习记忆一下，加深一下理解。可悲的是，好多知识学过了，但是不牢固，经常还会在同一个地方犯错。

40岁了，还在学习高数的基础知识，但愿不会被人耻笑，但愿对我的人生有一点价值。

例1 积分代换求解积分$${\int }_3^{8}2x+4dx$$

解：
根绝积分公式直接求解：
$${\int }_3^{8}2x+4dx=x^2+4x{|}_3^8=96-21=75$$

设u = 2x + 4,则 x = (u - 4) /2 ,带入积分表达式:
$${\int }_3^{8}2x+4dx={\int }_{?}^{?}ud(\frac{u-4}{2})$$

此时，积分上下限改怎样修改呢？这个问题我一直搞不清楚，此时上下限是不是" $\frac{u-4}{2}=8=>上限为20$ "和 "$\frac{u-4}{2}=3=>下限为10$ "呢？

当然，上述表达式也可以表达为：" $2\times 8+4=20=>上限为20$ "和 "$2\times 3+4=10=>下限为10$ "

抑或是，" $\frac{8-4}{2}=2=>上限为2$ "和 "$\frac{3-4}{2}=-0.5=>下限为-0.5$ "呢？

现在分别带入计算一下：

$${\int }_3^{8}2x+4dx={\int }_{10}^{20}ud(\frac{u-4}{2})=\frac{1}{4}{u}^2{|}_{10}^{20}=100-25=75$$

$${\int }_3^{8}2x+4dx={\int }_{-0.5}^{2}ud(\frac{u-4}{2})=\frac{1}{4}{u}^2{|}_{-0.5}^2=1-1/16=15/16$$

可见第一种代换方式是正确的。

例2 化简表达式 $$I={\int }_0^{x}tf(x-t)dt$$

解：
提示：此种情况下，积分表达式中的x要视为常数。

设 x- t = u，则 t = -u + x，带入积分表达式：

$$I={\int }_x^0(x-u)f(u)d(-u+x)={\int }_0^x(x-u)f(u)du$$

例3 证明 $${\int }_a^{a+T}f(t)dt={\int }_0^{T}f(t)dt$$其中，T是周期函数f(t)的周期。

证明：

设 t = u + a，带入积分表达式得：

$${\int }_a^{a+T}f(t)dt={\int }_0^{T}f(u+a)d(u)={\int }_0^{T}f(u)d(u)$$
考察积分函数的几何意义，一元函数积分值代表积分函数跟坐标轴围成的面积，因此，上式的变换是符合积分的几何意义的。

证法2:
$${\int }_a^{a+T}f(t)dt={\int }_a^{0}f(t)d(t)+{\int }_0^{T}f(t)d(t)+{\int }_T^{T+a}f(t)d(t)\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

$${\int }_T^{T+a}f(t)d(t)={\int }_0^{a}f(u+T)d(u)={\int }_0^{a}f(u)d(u)$$

故(3.1)式化简为$${\int }_0^{T}f(t)d(t)$$

例4 证明周期相同的周期函数的和差积商也是周期函数。

证明：
假设f(x), g(x)都是周期为T 的周期函数，则对于任意的x都满足：
I(x) = f(x)+g(x) = f(x+T)+g(x+T) ，故证明其和为周期函数
I(x) = f(x)-g(x) = f(x+T)-g(x+T) ，故证明其差为周期函数
I(x) = f(x)g(x) = f(x+T)g(x+T) ，故证明其积为周期函数
I(x) = f(x)/g(x) = f(x+T)/g(x+T) ，故证明其商为周期函数

更进一步可以证明，若f(x)的周期为T1，g(x)的周期为T2，若T1=kT2，其中k为整数，则f(x)与g(x)的和差商积也必定为周期函数，其周期为T1。