数学建模（二）线性规划

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在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支：数学规划。而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。

一、线性规划的实例与定义

1.1 线性规划的实例

例：某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4千元与3千元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台 2小时和1小时;生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大?

上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润z最大，则x1,x2应满足：

以上便是一个线性规划问题的数学模型，其中变量x1,x2称之为决策变量，(1.1)式被称为问题的目标函数，(1.2)中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。

1.2 线性规划的定义

目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。

1.3 最优解

满足约束条件的解x=[x,,L ,xI',称为线性规划问题的可行解，而使目标函数达到最大值的可行解叫最优解。

1.4 线性规划的Mathlab标准形式以及求解器求解

线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab中规定线性规划的标准形式：

其中c和x为n维列向量，A、Aeq为适当维数的矩阵，b、beq为适当维数的列向量。

Matlab中求解线性规划的命令为：

Matlab中的linprog函数是一个线性规划求解器,可以用于求解线性规划问题。

[x,fval] = linprog(c,A,b)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

其中，x返回的是决策向量的取值，fval返回的是目标函数的最优值，c为价值向量，A，b对应的是线性不等式约束，Aeq，beq对应的是线性等式约束，lb和ub分别对应的是决策向量的下界向量和上界向量。

1.5 使用linprog函数

1. 目标函数中求max时，将目标函数的系数全部取反，即可看作求min，代入linprog函数，求得目标函数的最优值再取反回来，便得到了求max时目标函数的最优值（y）。这时，决策向量（x）的取值正对应着求max时目标函数的最优值，所以不变。

2. 约束条件中的不等号为大于号时，系数全部取反，代入linprog函数即可。