关于矩阵的知识点

行列式

行列式的基本性质

1. 单位阵行列式的值为1
2. 交换行或者列，行列式的值乘 -1
3. |2a 3b c d| = 2*3*|a b c d|
   |a b+c d e| = |a b d e| + |a c d e|
4. 某一行加上k倍其他行，行列式的值不变（用到性质3）
5. |AB| = |A|*|B|
6. |A| = |A^T|，利用A = LU和上条性质可证明

矩阵

矩阵的类别

• 置换矩阵（permutation）
  定义：P的每行和每列有且仅有一个1，其余填零。PA即为行变换，AP即为列变换。
  求行列式：1或 -1，看其经过多少次变换可以成为单位阵，奇数次取-1，偶数次取1。
  求特征值：1和 -1，再根据迹和行列式的值看有几个1几个-1。
• 正交矩阵
  各列两两正交且为单位向量、各行两两正交且为单位向量。置换矩阵即为正交矩阵。
  求行列式：1或 -1，具体需要看矩阵是什么样子的。
  求逆：正交矩阵的转置即为其逆矩阵，置换矩阵是正交矩阵，故同样符合该求逆规则。
  求特征值：容易出现复数
• 对称矩阵（symmetric）
  对称矩阵的转置还是其本身。
  形成：AA^T结果即为对称矩阵。
  求逆：结果仍为对称矩阵。
  求行列式：各列或各行相加得到的列中的元素值一样，提出该值，依次计算。
  求特征值：高斯消元后，主元的符号就是特征值的符号。对称矩阵可对角化。对角阵上的值即为对应的特征值。特征值对应的特征向量都是正交的。
• 正定矩阵
  特征值均为正数的对称矩阵即为正定矩阵。0和正数同时存在称作半正定矩阵。
  求逆：结果仍为正定矩阵。
  求行列式：各列或各行相加得到的列中的元素值一样，提出该值，依次计算。
  求特征值：全为正数
• 代数余子式矩阵
  矩阵中某一元素的代数余子式是除去该元素所在的行和列，剩下元素形成的行列式的值，对矩阵中所有元素求该值，形成的矩阵即为代数余子式矩阵。
• 伴随矩阵
  矩阵A的伴随矩阵是A的代数余子式矩阵的转置。
  形成：A^* = |A|A^-1
  求逆：A / |A|
• 上三角矩阵
  对角线及其上方有值（该值可为0），其余填0。
  求逆：仍为上三角，对角线上的元素取倒数，其余稍稍计算即可
  求行列式：对角线元素相乘
  求特征值：对角线元素即为特征值
• 下三角矩阵
  对角线及其下方有值（该值可为0），其余填0。
  求逆：仍为下三角，对角线上的元素取倒数，其余稍稍计算即可
  求行列式：对角线元素相乘
  求特征值：对角线元素即为特征值
• 对角阵
  只在对角线上有值的矩阵（该值可以为0），其余填0。既是上三角阵，也是下三角阵
  求逆：每一个元素取倒数形成的矩阵即为逆矩阵
  行列式：对角线元素相乘
  求特征值：对角线元素即为特征值

矩阵求解逆矩阵、特征值、行列式常用性质

• 逆矩阵
  |A||A^-1| = E
• 特征值
  特征值的和等于迹（对角元素相加之和），特征值的积等于行列式的值
• 行列式
  若存在线性相关向量（不满秩），行列式的值为0

矩阵的分解

• LU分解(A = LU)
  U是高斯消元结果，可视为对A左乘P进行行变换，PA = U，有A = P^-1U，则行变换矩阵的逆即为L。L对角线上为1。
• QR分解(A = QR)
  Q是A正交化的结果，是A列空间的标准正交基，因为Q是以第一列为初始方向向量，对其他列向量进行变换，故R的第一列只有第一个元素有值，则R是上三角矩阵。a₁ = R₁₁ * q₁，R₁₁是一个数。
• 特征值分解(A = SS^-1)
  S为特征向量组成的矩阵，是特征值组成的对角阵。前提条件：S可逆要求所有特征向量线性无关。
  若A为正定阵（光对称不行，因为奇异值是非负的），则S为正交阵，此时A = SS^T，正好可看作奇异值分解，正交阵乘非负特征值阵乘正交阵。
• 奇异值分解(A = UV^T)
  U是列空间的一组正交基，V是行空间的一组正交基，是奇异值矩阵。U、V通过AA^T、A^TA可求得。是AA^T或者A^TA的特征值的平方根。