Algorithm进阶计划 -- LRU 与 LFU 算法

LRU 与 LFU 算法

• LRU 算法
• LFU 算法

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1. LRU 算法

LRU 算法是一种缓存淘汰策略，是 Least Recently Used 的缩写，也就是认为最近使用过的数据应该是有用的，很久都没用过的数据应该是无用的，内存满了就优先删那些很久没用过的数据。即把最近最久未使用的页面（数据、内存等）予以淘汰。

力扣 146 题算法描述如下：

LRU 缓存机制

主要是实现以下 API：

class LRUCache {

    public LRUCache(int capacity) { }
    
    public int get(int key) { }
    
    public void put(int key, int value) { }
}

1.1 LRU 算法设计分析

要让 put 和 get 方法的时间复杂度为 O(1)，那么 cache 这个数据结构需满足如下必要条件：

• cache 中的元素必须有时序，以区分最近使用的和久未使用的数据，当容量满了之后要删除最久未使用的那个元素腾位置。
• 要在 cache 中快速找某个 key 是否已存在并得到对应的值 val。
• 每次访问 cache 中的某个 key，需要将这个元素变为最近使用的，即 cache 要支持在任意位置快速插入和删除元素。

哈希表查找快，但数据无固定顺序；链表有顺序之分，插入删除快，但查找慢。结合一下，因此可采用哈希链表 LinkedHashMap。

LRU 缓存算法的核心数据结构就是哈希链表，双向链表和哈希表的结合体：

哈希链表

借助这个数结构，是满足上面的 cache 必要条件的：

• 若每次默认从链表尾部添加元素，那么越靠尾部的元素就是最近使用的，越靠头部的元素就是最久未使用的。
• 对于某一个 key，可以通过哈希表快速定位到链表中的节点，从而取得对应 val。
• 借助哈希表，可以通过 key 快速映射到任意一个链表节点，然后进行插入和删除。

1.2 LRU 算法代码实现

首先构建双链表如下：

/**
 * 双链表的节点类
 */
public class Node {
    public int key, val;
    public Node next, prev;

    public Node(int k, int v) {
        this.key = k;
        this.val = v;
    }
}

/**
 * 双链表
 */
public class DoubleList {
    // 头尾虚节点
    private Node head, tail;
    // 链表元素数
    private int size;

    public DoubleList() {
        // 初始化双向链表的数据
        head = new Node(0, 0);
        tail = new Node(0, 0);
        head.next = tail;
        tail.prev = head;
        size = 0;
    }

    // 在链表尾部添加节点 x，时间 O(1)
    public void addLast(Node x) {
        x.prev = tail.prev;
        x.next = tail;
        tail.prev.next = x;
        tail.prev = x;
        size++;
    }

    // 删除链表中的 x 节点（x 一定存在）
    // 由于是双链表且给的是目标 Node 节点，时间 O(1)
    public void remove(Node x) {
        x.prev.next = x.next;
        x.next.prev = x.prev;
        size--;
    }

    // 删除链表中第一个节点，并返回该节点，时间 O(1)
    public Node removeFirst() {
        if (head.next == tail) return null;
        Node first = head.next;
        remove(first);
        return first;
    }

    // 返回链表长度，时间 O(1)
    public int size() {
        return size;
    }
}

值得注意的是，这边不能使用单链表而要使用双向链表，因为上面删除操作中，删除一个节点不仅要得到该节点本身的指针，也需要操作其前驱节点的指针，而双向链表才能支持直接查找前驱，保证操作的时间复杂度 O(1)。

上面双链表中只能从尾部插入，即靠尾部的数据是最近使用的，靠头部的数据是最久为使用的。

接着在 LRU 算法中把双向链表和哈希表结合起来：

/**
 * LRU 算法: 把双向链表和哈希表结合起来
 * 

 * LRU 算法相当于把数据按照时间排序，借助链表，
 * 一直从链表头部加入元素的话，越靠近头部的元素就是新的数据，越靠近尾部的元素就是旧的数据，
 * 进行缓存淘汰时只要简单地将尾部的元素淘汰掉
 */
public class LRUCache {
    // key -> Node(key, val)
    private HashMap map;
    // Node(k1, v1) <-> Node(k2, v2)...
    private DoubleList cache;
    // 最大容量
    private int cap;

    public LRUCache(int capacity) {
        this.cap = capacity;
        map = new HashMap<>();
        cache = new DoubleList();
    }

    /********  尽量让 LRU 的主方法 get 和 put 避免直接操作 map 和 cache 的细节  *********/

    /**
     * 将某个 key 提升为最近使用的
     */
    private void makeRecently(int key) {
        Node x = map.get(key);
        // 先从链表中删除这个节点
        cache.remove(x);
        // 重新插到队尾
        cache.addLast(x);
    }

    /**
     * 添加最近使用的元素
     */
    private void addRecently(int key, int val) {
        Node x = new Node(key, val);
        // 链表尾部就是最近使用的元素
        cache.addLast(x);
        // 别忘了在 map 中添加 key 的映射
        map.put(key, x);
    }

    /**
     * 删除某一个 key
     */
    private void deleteKey(int key) {
        Node x = map.get(key);
        // 从链表中删除
        cache.remove(x);
        // 从 map 中删除
        map.remove(key);
    }

    /**
     * 删除最久未使用的元素
     */
    private void removeLeastRecently() {
        // 链表头部的第一个元素就是最久未使用的
        Node deleteNode = cache.removeFirst();
        // 同时别忘了从 map 中删除它的 key
        int deleteKey = deleteNode.key;
        map.remove(deleteKey);
    }

    /*********************************  对外方法  ************************************/

    public int get(int key) {
        if (!map.containsKey(key)) return -1;
        // 将该数据提升为最近使用的
        makeRecently(key);
        return map.get(key).val;
    }

    public void put(int key, int val) {
        if (map.containsKey(key)) {
            // 删除旧数据
            deleteKey(key);
            // 新插入的数据为最近使用的数据
            addRecently(key, val);
            return;
        }

        if (cap == cache.size()) {
            // 删除最久未使用的元素
            removeLeastRecently();
        }

        // 添加为最近使用的元素
        addRecently(key, val);
    }
}

值得注意的是，上面 removeLeastRecently 函数中，需要用 deletedNode 得到 deletedKey，即当缓存容量已满，不仅要删除最后一个 Node 节点，还要把 map 中映射到该节点的 key 同时删除，而这个 key 只能由 Node 得到。这也就是为什么要在链表中同时存储 key 和 val。

另外， put 方法稍复杂，其逻辑如下：

put(key, val)

当然，上面 LRU 算法也可用 Java 的内置 LinkedHashMap 来实现：

public class LRUCache {
    int cap;
    LinkedHashMap cache = new LinkedHashMap<>();

    public LRUCache(int capacity) {
        this.cap = capacity;
    }

    public int get(int key) {
        if (!cache.containsValue(key)) {
            return -1;
        }
        // 将 key 变为最近使用
        makeRecently(key);
        return cache.get(key);
    }

    public void put(int key, int val) {
        if (cache.containsValue(key)) {
            // 修改 key 的值
            cache.put(key, val);
            // 将 key 变为最近使用
            makeRecently(key);
            return;
        }

        if (cache.size() >= this.cap) {
            // 链表头部就是最久未使用的 key
            int oldestKey = cache.keySet().iterator().next();
            cache.remove(oldestKey);
        }

        // 将新的 key 添加链表尾部
        cache.put(key, val);
    }

    private void makeRecently(int key) {
        int val = cache.get(key);
        // 删除 key，重新插入到队尾
        cache.remove(key);
        cache.put(key, val);
    }
}

2. LFU 算法

LFU 算法是一种缓存淘汰策略，是 Least Frequently Used 的缩写，也就是根据数据的历史访问频率来淘汰数据，其核心思想是淘汰访问频次最低的数据，如果访问频次最低的数据有多条，需要淘汰最旧的数据。

力扣 460 题算法描述如下：

LFU 缓存机制

主要是实现以下 API：

class LFUCache {
    // 构造容量为 capacity 的缓存
    public LFUCache(int capacity) { }
    // 在缓存中查询 key
    public int get(int key) { }
    // 将 key 和 val 存入缓存
    public void put(int key, int value) { }
}

2.1 LFU 算法设计分析

根据 LFU 算法的逻辑，列举出算法执行过程中的几个显而易见的事实：

• 调用 get(key) 方法时，要返回该 key 对应的 val。
• 只要用 get 或 put 方法访问一次某个 key，该 key 的 freq就要加一。
• 若在容量满时进行插入，则需要将 freq 最小的 key 删除，如果最小的 freq 对应多个 key，则删除其中最旧的那一个。

要在 O(1) 的时间内解决这些需求，可使用如下基本数据结构：

• 使用一个 HashMap 存储 key 到 val 的映射，就可以快速计算 get(key)：

// 使用一个HashMap存储key到val的映射 -- KV表
HashMap keyToVal;

• 使用一个 HashMap 存储 key 到 freq 的映射，就可以快速操作 key 对应的 freq：

// 使用一个HashMap存储key到freq的映射 -- KF表
HashMap keyToFreq;

• 最后一个需求是 LFU 算法的核心：

/**
 * freq 到 key 列表的映射 -- FK表
 * 

 * 1、首先，肯定是需要freq到key的映射，用来找到freq最小的key。
 * 2、将freq最小的key删除，就得快速得到当前所有key最小的freq是多少。
 * 想要时间复杂度 O(1) 的话，需要用一个变量minFreq来记录当前最小的freq。
 * 3、可能有多个key拥有相同的freq，所以 freq对key是一对多的关系，即一个freq对应一个key的列表。
 * 4、希望freq对应的key的列表是存在时序的，便于快速查找并删除最旧的key。
 * 5、希望能够快速删除key列表中的任何一个key，因为如果频次为freq的某个key被访问，
 * 那么它的频次就会变成freq+1，就应该从freq对应的key列表中删除，加到freq+1对应的key的列表中。
 */
HashMap> freqToKeys;
int minFreq = 0;

LinkedHashSet 是链表和哈希集合的结合体。链表不能快速访问链表节点，但插入元素具有时序；哈希集合中的元素无序，但可以对元素进行快速的访问和删除。

综上， LFU 算法的基本数据结构如下：

class LFUCache {
    // key 到 val 的映射
    HashMap keyToVal;
    // key 到 freq 的映射
    HashMap keyToFreq;
    // freq 到 key 列表的映射
    HashMap> freqToKeys;
    // 记录最小的频次
    int minFreq;
    // 记录 LFU 缓存的最大容量
    int cap;

    public LFUCache(int capacity) {
        keyToVal = new HashMap<>();
        keyToFreq = new HashMap<>();
        freqToKeys = new HashMap<>();
        this.cap = capacity;
        this.minFreq = 0;
    }

    public int get(int key) {}

    public void put(int key, int val) {}
}

2.2 LFU 算法代码实现

LFU 算法的逻辑不难理解，但写代码实现并不容易，对于这种要维护多个映射且容易出错的情况，可用如下技巧：

• 不要企图上来就实现算法的所有细节，而应该自顶向下，逐步求精，先写清楚主函数的逻辑框架，然后再一步步实现细节。
• 搞清楚映射关系，如果更新了某个 key 对应的 freq，那么就要同步修改 KF表和 FK表，这样才不会出问题。
• 画图，把逻辑比较复杂的部分用流程图画出来，然后根据图来写代码，可以极大减少出错的概率。

首先，实现 get(key) 方法如下：

    /**
     * 在缓存中查询 key
     * 

     * 返回 key 对应的 val，然后增加 key 对应的 freq
     */
    public int get(int key) {
        if (!keyToVal.containsKey(key)) {
            return -1;
        }
        // 增加 key 对应的 freq
        increaseFreq(key);
        return keyToVal.get(key);
    }

然后实现 put(key, val) 方法，逻辑稍复杂，其大体流程图如下：

put(key, val)

代码如下：

    /**
     * 将 key 和 val 存入缓存
     */
    public void put(int key, int val) {
        if (this.cap <= 0) return;

        // 若 key 已存在，修改对应的 val 即可
        if (keyToVal.containsKey(key)) {
            keyToVal.put(key, val);
            // key 对应的 freq 加一
            increaseFreq(key);
            return;
        }

        // key 不存在，需要插入
        // 容量已满的话需要淘汰一个 freq 最小的 key
        if (this.cap <= keyToVal.size()) {
            removeMinFreqKey();
        }

        // 插入新的 key 和 val，对应的 freq 为 1
        // 插入 KV 表
        keyToVal.put(key, val);
        // 插入 KF 表
        keyToFreq.put(key, 1);
        // 插入 FK 表
        freqToKeys.putIfAbsent(1, new LinkedHashSet<>());
        freqToKeys.get(1).add(key);
        // 插入新 key 后最小的 freq 肯定是 1
        this.minFreq = 1;
    }

接着，实现 LFU 算法的核心逻辑 removeMinFreqKey 如下：

    /**
     * 删除最小频率的 key
     * 

     * 删除某个键 key要同时修改三个映射表，借助 minFreq 参数可以从 FK表 中找到 freq 最小的 keyList，
     * 根据时序，其中第一个元素就是要被淘汰的 deletedKey，操作三个映射表删除这个 key 即可
     */
    private void removeMinFreqKey() {
        // freq 最小的 key 列表
        LinkedHashSet keyList = freqToKeys.get(this.minFreq);
        // 其中最先被插入的那个 key 就是该被淘汰的 key
        int deleteKey = keyList.iterator().next();
        // 更新 FK 表
        keyList.remove(deleteKey);
        if (keyList.isEmpty()) {
            freqToKeys.remove(this.minFreq);
            // 问：这里需要更新 minFreq 的值吗？
            // 答：不需要，因为该方法在put方法中插入新key时可能调用，而插入新key时一定会把minFreq更新成 1
        }
        // 更新 KV 表
        keyToVal.remove(deleteKey);
        // 更新 KF 表
        keyToFreq.remove(deleteKey);
    }

最后，实现 increaseFreq 如下：

    /**
     * 增加 key 对应的 freq
     * 

     * 更新某个 key 的 freq 会涉及 FK表 和 KF表，这边分别更新这两个表即可
     */
    private void increaseFreq(int key) {
        int freq = keyToFreq.get(key);
        // 更新 KF 表
        keyToFreq.put(key, freq + 1);
        // 更新 FK 表
        // 将 key 从 freq 对应的列表中删除
        freqToKeys.get(freq).remove(key);
        // 将 key 加入 freq + 1 对应的列表中
        freqToKeys.putIfAbsent(freq + 1, new LinkedHashSet<>());
        freqToKeys.get(freq + 1).add(key);
        // 如果 freq 对应的列表空了，移除这个 freq
        if (freqToKeys.get(freq).isEmpty()) {
            freqToKeys.remove(freq);
            // 如果这个 freq 恰好是 minFreq，更新 minFreq
            if (freq == this.minFreq) {
                this.minFreq++;
            }
        }

    }

以上，LFU 算法代码就完成了。

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参考链接：

算法就像搭乐高：带你手撸 LRU 算法

算法就像搭乐高：带你手撸 LFU 算法