AcWing算法提高课-1.3.19金明的预算方案

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题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。

更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $N$ 元钱就行”。

今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。

每个主件可以有 $0$ 个、$1$ 个或 $2$ 个附件。

附件不再有从属于自己的附件。

金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 $N$ 元。

于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1-5$ 表示，第 $5$ 等最重要。

他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 $10$ 元的整数倍）。

他希望在不超过 $N$ 元（可以等于 $N$ 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v[j]$，重要度为 $w[j]$，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1，j_2，\dots ，j_k$，则所求的总和为：

$$v[j_1]\times w[j_1]+v[j_2]\times w[j_2]+\dots +v[j_k]\times w[j_k]$$

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

输入文件的第 $1$ 行，为两个正整数，用一个空格隔开：$N,m$，其中 $N$ 表示总钱数，$m$ 为希望购买物品的个数。

从第 $2$ 行到第 $m+1$ 行，第j行给出了编号为 $j-1$ 的物品的基本数据，每行有 $3$ 个非负整数$v,p,q$，其中 $v$ 表示该物品的价格，$p$ 表示该物品的重要度$（1-5）$，$q$ 表示该物品是主件还是附件。

如果 $q=0$，表示该物品为主件，如果 $q>0$，表示该物品为附件，$q$ 是所属主件的编号。

输出格式

输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值
$（<200000）$。

数据范围

$N<32000,m<60,v<10000$

输入样例：

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

输出样例：

2200

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思路

本题为DP问题，可以使用 闫氏DP分析法 解题。

将每个主件及其附件看作一个物品组，记主件为 $p$，两个附件为 $a,b$，则最多一共有 $4$ 种组合：

1. $p$
2. $p,a$
3. $p,b$
4. $p,a,b$

这四种组合是互斥的，最多只能从中选一种，因此可以将每种组合看作一个物品，那么问题就变成了分组背包问题。

在枚举四种组合时可以使用二进制的思想。

---

AC Code:

$C++$

#include 
#include 

#define vv first
#define ww second

using namespace std;

const int N = 32010, M = 65;

typedef pair<int, int> PII;

int n, m;
PII ma[N];
vector<PII> se[M]; 
int f[N]; 

int main()
{
	cin >> m >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	{
		int v, w, q;
		cin >> v >> w >> q;
		if (!q) ma[i] = {v, v * w};
		else se[q].push_back({v, v * w});
	}
	
	for (int i = 1; i <= m; i ++ )
		if (ma[i].vv)
			for (int j = m; j >= 0; j -- )
				for (int k = 0; k < 1 << se[i].size(); k ++ )
				{
					int v = ma[i].vv, w = ma[i].ww;
					for (int u = 0; u < se[i].size(); u ++ )
						if (k >> u & 1)
						{
							v += se[i][u].vv;
							w += se[i][u].ww;
						}
					if (j >= v) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
				}
	
	cout << f[m] << endl;
	
    return 0;
}

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