AcWing算法提高课-1.3.19金明的预算方案

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题目描述

金明今天很开心,家里购置的新房就要领钥匙了,新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。

更让他高兴的是,妈妈昨天对他说:“你的房间需要购买哪些物品,怎么布置,你说了算,只要不超过 N N N 元钱就行”。

今天一早,金明就开始做预算了,他把想买的物品分为两类:主件与附件,附件是从属于某个主件的,下表就是一些主件与附件的例子:

AcWing算法提高课-1.3.19金明的预算方案_第1张图片

如果要买归类为附件的物品,必须先买该附件所属的主件。

每个主件可以有 0 0 0 个、 1 1 1 个或 2 2 2 个附件。

附件不再有从属于自己的附件。

金明想买的东西很多,肯定会超过妈妈限定的 N N N 元。

于是,他把每件物品规定了一个重要度,分为 5 5 5 等:用整数 1 − 5 1-5 15 表示,第 5 5 5 等最重要。

他还从因特网上查到了每件物品的价格(都是 10 10 10 元的整数倍)。

他希望在不超过 N N N 元(可以等于 N N N 元)的前提下,使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 j j j 件物品的价格为 v [ j ] v[j] v[j],重要度为 w [ j ] w[j] w[j],共选中了 k k k 件物品,编号依次为 j 1 , j 2 , … , j k j_1,j_2,…,j_k j1j2jk,则所求的总和为:

v [ j 1 ] × w [ j 1 ] + v [ j 2 ] × w [ j 2 ] + … + v [ j k ] × w [ j k ] v[j_1] \times w[j_1]+v[j_2] \times w[j_2]+…+v[j_k] \times w[j_k] v[j1]×w[j1]+v[j2]×w[j2]++v[jk]×w[jk]

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

输入文件的第 1 1 1 行,为两个正整数,用一个空格隔开: N , m N,m N,m,其中 N N N 表示总钱数, m m m 为希望购买物品的个数。

从第 2 2 2 行到第 m + 1 m+1 m+1 行,第j行给出了编号为 j − 1 j-1 j1 的物品的基本数据,每行有 3 3 3 个非负整数 v , p , q v,p,q v,p,q,其中 v v v 表示该物品的价格, p p p 表示该物品的重要度 ( 1 − 5 ) (1-5) 15 q q q 表示该物品是主件还是附件。

如果 q = 0 q=0 q=0,表示该物品为主件,如果 q > 0 q>0 q>0,表示该物品为附件, q q q 是所属主件的编号。

输出格式

输出文件只有一个正整数,为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值
( < 200000 ) (<200000) <200000

数据范围

N < 32000 , m < 60 , v < 10000 N < 32000, m < 60, v < 10000 N<32000,m<60,v<10000

输入样例:

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

输出样例:

2200

思路

本题为DP问题,可以使用 闫氏DP分析法 解题。

将每个主件及其附件看作一个物品组,记主件为 p p p,两个附件为 a , b a,b a,b,则最多一共有 4 4 4 种组合:

  1. p p p
  2. p , a p,a p,a
  3. p , b p,b p,b
  4. p , a , b p,a,b p,a,b

这四种组合是互斥的,最多只能从中选一种,因此可以将每种组合看作一个物品,那么问题就变成了分组背包问题。

在枚举四种组合时可以使用二进制的思想。


AC Code:

C + + C++ C++

#include 
#include 

#define vv first
#define ww second

using namespace std;

const int N = 32010, M = 65;

typedef pair<int, int> PII;

int n, m;
PII ma[N];
vector<PII> se[M]; 
int f[N]; 

int main()
{
	cin >> m >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	{
		int v, w, q;
		cin >> v >> w >> q;
		if (!q) ma[i] = {v, v * w};
		else se[q].push_back({v, v * w});
	}
	
	for (int i = 1; i <= m; i ++ )
		if (ma[i].vv)
			for (int j = m; j >= 0; j -- )
				for (int k = 0; k < 1 << se[i].size(); k ++ )
				{
					int v = ma[i].vv, w = ma[i].ww;
					for (int u = 0; u < se[i].size(); u ++ )
						if (k >> u & 1)
						{
							v += se[i][u].vv;
							w += se[i][u].ww;
						}
					if (j >= v) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
				}
	
	cout << f[m] << endl;
	
    return 0;
}

End

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