【考研数学】高等数学第三模块——积分学 | Part II 定积分（反常积分及定积分应用）

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前言

承接前文，梳理完定积分的定义及性质后，我们进入广义积分的学习。

通过可积的概念我们可以清楚，连续函数是可积的，同时，有有限个第一类间断点的函数也是可积的。这类积分积分区间是有限的，称为正常积分。而如果出现 积分区间无限（如上限为无穷等）或被积函数在积分区间内有无穷间断点，称这类积分为广义积分或反常积分。

三、广义积分

3.1 敛散性概念

（一）积分区间为无限的广义积分

实际进行判断时，我们一般直接写成原函数相减的形式。如： ∫ 1 ∞ x 1 + x 4 d x = 1 2 a r c t a n x ∣ 1 ∞ = 1 2 ( π 2 − π 4 ) = π 8 \int_1^{\infty}\frac{x}{1+x^4}dx=\frac{1}{2}arctanx \big| _1^{\infty}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{8} ∫1∞​1+x4x​dx=21​arctanx ​1∞​=21​(2π​−4π​)=8π​

这里补充一个 $\Gamma$ 函数，其定义为： $$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x^2}dx$$ 主要有如下性质：$$\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha ),\Gamma (n+1)=n!,\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }.$$

定义 2 是当下限为无穷时的广义积分，和第一种情况类似。

当上下限均为无穷时，需要将区间分为两部分，分别进行收敛性判断，且最后的积分为两部分积分之和。

（二）积分区间有限但存在无穷间断点

定义 4 —— 设 $f(x)\in C(a,b]$ 且 $f(a+0)=\infty$ ，对 $\forall ϵ>0$ ，记$${\int }_{a+ϵ}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a+ϵ);$$ 若上述极限存在，则广义积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛，且等于该极限值。
若上述极限不存在，则广义积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 发散。

同样，当在 b 处无穷间断或区间中其他点无穷间断时，分别有如下定义。

3.2 敛散性判别法

针对各种类型的广义积分，分别有不同的判别法，但彼此之间的形式较为相似。

除此以外，广义积分还有判别定理，有点儿级数收敛的意思了。

四、定积分应用

定积分在几何上的应用有求面积，包括旋转曲面的面积和一些曲线所围的面积等。还有求体积，如绕某条坐标轴旋转一周的体积。求曲线长度，如各种坐标系下曲线的长度。

定积分在物理上的应用主要为求做功和受力。

在具体求解时，关键是掌握好微元法的思想，先找到一个小微元 $[x,x+dx]$ 。求面积则把面积的表达式写出来，如 $dA=xdx$ 。求体积则把体积表示出来，如 $dV=\pi x^{2}dx$ 。求压力，则把压力表示出来，如 $dF=egh\cdot dS$ 。

写出来后根据积分区间进行定积分求解即可，如 $V=\int dV=\int \pi x^{2}dx$ 。

写在最后

定积分的内容多啊，任重道远，后面还有重积分、曲线、曲面积分等等。不过只要坚持把这块啃下来，后面的进度就会好一些。