【考研数学】概率论与数理统计 | 第一章——随机事件与概率（2）

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引言

承接上文，继续介绍概率论与数理统计第一章的内容。

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四、概率基本公式

4.1 减法公式

$$P(A-B)=P(A\overline{B})=P(A)-P(AB).$$ 证明：$A=(A-B)+AB$ ，且 $A-B$ 与 $AB$ 互斥，根据概率的有限可加性，有 $P(A)=P(A-B)+P(AB)$ ，即 $P(A-B)=P(A)-P(AB)$ 。
$A=A\overline{B}+AB$ ，且 $A\overline{B}$ 与 $AB$ 互斥，由有限可加性得： $P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$

4.2 加法公式

（1）$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).$
证明：$A+B=(A-B)+(B-A)+AB$ ，且 $A-B,B-A,AB$ 两两互斥，由有限可加性，可得：$$P(A+B)=P(A-B)+P(B-A)+P(AB)$$ 再结合减法公式，有：$$P(A+B)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(BA)+P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).$$ （2）$P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).$

4.3 条件概率公式

设 $A,B$ 为两个事件，且 $P(A)>0$ ，则 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}.$

4.4 乘法公式

（1）设 $P(A)>0$ ，则 $P(AB)=P(A)P(B|A).$

（2）$P(A_1{A}_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)\dots P(A_n|A_1{A}_2\dots A_{n-1}).$

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五、事件的独立性

5.1 事件独立的定义

5.1.1 两个事件的独立

设 $A,B$ 为两个随机事件，若 $P(AB)=P(A)P(B)$ ，则称事件 $A,B$ 相互独立。

5.1.2 三个事件的独立

设 $A,B,C$ 为三个随机事件，若满足 $$P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),$$ 且 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ ，则称三个事件 $A,B,C$ 相互独立。

5.2 事件独立的性质

性质 1 若事件 $A$ 和 $B$ 相互独立，则 $A$ 与 $\overline{B}$ 、$\overline{A}$ 与 $B$ 、$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立，反之亦成立。

证明：由独立可知，$P(AB)=P(A)P(B)$ ，则 $$P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)P(\overline{B}),$$ 即 $A$ 与 $\overline{B}$ 相互独立，$\overline{A}$ 与 $B$ 相互独立同理可证。

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A\cup B)}=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=[1-P(A)][1-P(B)]=P(\overline{A})P(\overline{B})$ ，则有$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 相互独立，反之证明同理。

性质 2 设 $A,B$ 为两个随机事件且 $P(A)=0$ 或 $P(A)=1$ ，则 $A,B$ 相互独立。

证明：设 $P(A)=0$ ，由 $AB\subset A$ 可知，$P(AB)\le P(A)=0$ ，又因为 $P(AB)\ge 0$ ，故 $P(AB)=0$ ，即有 $P(AB)=P(A)=0$ ，可得 $P(AB)=P(A)P(B)$ ，从而有 $A,B$ 相互独立。

设 $P(A)=1$ ，$P(\overline{A})=0$ ，$P(B\overline{A})=P(B)-P(A)\le 1$ ，由 $P(A)=1$ ，可知 $P(B\overline{A})=0$ ，故 $P(B\overline{A})=P(\overline{A})P(B)$ ，即有 $\overline{A}$ 与 $B$ 相互独立，根据性质 1 ，事件 $A,B$ 相互独立。

1，事件 $A,B,C$ 两两独立，则事件 $A,B,C$ 不一定独立。
2，设 $A,B$ 为两个随机事件，且 $P(A)>0,P(B)>0$ ，则
若 $A,B$ 独立，则 $A,B$ 不互斥。因为此时 $P(AB)=P(A)P(B)>0$ ，不为空集。
若 $A,B$ 互斥，则 $A,B$ 不独立。此时 $P(AB)=\varnothing$ ，必不可能等于 $P(A)P(B)$ 。

设事件 $A_1,A_2,\dots ,A_m$ ，事件 $B_1,B_2,\dots ,B_n$ 相互独立，则由事件 $A_1,A_2,\dots ,A_m$ 所构成的任意事件 $\phi (A_1,A_2,\dots ,A_m)$ 与由事件 $B_1,B_2,\dots ,B_n$ 构成的任意事件 $\varphi (B_1,B_2,\dots ,B_n)$ 相互独立。

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写在最后

剩下一个贝叶斯和全概率，还有概型，放到后面吧。