高等数学：勾股定理证明方法

最著名的平面几何定理可能非勾股定理莫属。有意思的是，我们是从$3$开始认识勾股定理的，勾三股四弦五， $3^2+4^2=5^2$ 。三是什么？三在中国文化里具有特殊重要性，“道生一，一生二，二生三，三生万物。”（《道德经·四十三章》）在数学里，勾股定理确实有“三生万物”的地位。

定理 设$\Delta ABC$三边长为 $a,b,c$ ，如果$\angle C＝90°$，则
$$a^2+b^2=c^2$$
反之也成立。

讫今为至，关于勾股定理（上述定理的充分性部分）的证明有$400$多种，下面的证明来自欧几里得的《几何原本》。

证法一（《几何原本》第一卷命题47）

设$RE\Delta ABC$，其中$\angle C＝90°$，过三边分别向外作正方形$ABFE$，正方形$BDHG$，正方形$CAJI$，连接$CE，CF，BJ，AG$，过点$C$作$CK\perp AB$交$AB$于$L$，交$EF$于$K$。

因为$AC＝AJ$，$\angle EAC＝\angle BAJ$，$AE＝AB$，所以$\Delta EAC≌\Delta BAJ$；

类似地，可得$\Delta FCB≌\Delta AGB$；

所以 $S_{AEKL}=AE\cdot EK=2\cdot \frac{1}{2}\cdot AE\cdot EK=2S_{AEC}$ ，

同理$S_{BFKL}=2S_{BFC}$，$S_{BCHG}=2S_{BAG}$，

所以
$$S_{AEFB}=S_{AEKL}+S_{BFKL}=2S_{AEC}+2S_{BFC}=2S_{ABJ}+2S_{ABG}=S_{ACIJ}+S_{BCHG}$$
即 $a^2+b^2=c^2$.

证法二（《几何原本》第六卷命题8）

如图4，设$RE\Delta ABC$，其中$\angle C＝90°$，过$C$作$CD\perp AB$于$D$。

因为$\angle ACB＝\angle ADC＝90°$，$\angle A＝\angle A$，所以$\Delta ABC\backsim \Delta ACD$，所以$\frac{b}{c_1}=\frac{c}{b}=\frac{a}{h}$，得$b^2=c{\cdot }_1$ ；

类似地，有$\Delta ABC\backsim \Delta CBD$，所以 $\frac{a}{c_2}=\frac{c}{a}=\frac{b}{h}$ ，得 $a^2=c\cdot c_2$ ；

两式相加，得
$$a^2+b^2=c{c}_1+c{c}_2=c(c_1+c_2)=c^2$$
下面是必要性的证明：

如图5，已知在$\Delta ABC$中， $a^2+b^2=c^2$ ，则$\angle C＝90°$.

过$C$作$CD\perp AB$于$D$，在$RT\Delta CBD$和$RT\Delta ACD$中分别应用勾股定理，得
$$h^2+c_2^2=a^2$$
$$h^2+c_1^2=b^2$$
两式相加，得
$$2h^2+c_1^2+c_2^2=a^2+b^2$$
而 $a^2+b^2=c^2$，所以
$$2h^2+c_1^2+c_2^2=a^2+b^2=(c_1+c_2{)}^2$$
得 $h^2=c_1{c}_2$ ，即 $\frac{h}{c_1}=\frac{c_2}{h}$，而$\angle ACD＝\angle CDB＝90°$，所以$RT\Delta CBD\backsim RT\Delta ACD$，所以$\angle A＝\angle BCD$，$\angle B＝\angle ACD$，所以
$$\angle ACB＝\angle ACD+\angle BCD＝\angle B+\angle BCD＝\angle BDC＝90°.$$
在中学数学里，随时都可能遇到勾股定理。举一例。