蒙提·霍尔问题(三门问题)

       问题描述:在电视节目《一锤定音》中,小明可以在三扇门之中做出选择。其中一扇门后面是一项大奖,另外两扇门后面是山羊。在挑战者选择一扇门以后,主持人蒙提·霍尔每次都会向小明展示他没有选择的一扇门后面的山羊,并且询问小明是否想要换一扇门。

       大多数人认为,既然还剩下两扇门,那么这两扇门的机会是均等的。对于这个难题,《简单统计学》为我们提供了另一种思考方法:假设你在选择第一扇门以后混了过去,你既没有看到蒙提打开一扇门,也没有听到他询问你是否换一扇门。显然,你获胜的可能性仍然是三分之一。

谈谈我的看法:

       1.首先需要明确概率是或者说几率是不会改变的,是物质的固有属性,比如说,抛一枚硬币,正面朝上的概率是1/2,我抛一次硬币,结果是正面,那么抛一枚硬币正面朝上的概率是多少?显而易见,还是1/2,我抛硬币的结果并不能影响抛一枚硬币正面朝上的概率。那么回到题目,第一次选择的那扇门后面有大奖的概率仍是1/3,不管主持人有没有排除一扇门的选项,第一扇门中奖的概率是不会变的。

       2.基于以上事实,我想出一种便于理解的方式来说明三门问题。当第一次做出选择后,我们将三扇门分为两组,第一组是选好的那一扇门,第二组是剩下的两扇门。如果分组后再让我从这两组中选择,我肯定选择第二组,因为它的概率是2/3,。接下来主持人为我们从第二组中排除了一个选项,也就是说主持人为我们提供了一个“多选”的机会,可以让我们选择第二组。也就是说,选择第二组的剩下那一扇门的中奖的概率提升到了2/3。

       3.那为什么会有人觉得两扇门的机会是均等的?那是因为信息差的原因。在主持人打开一扇门后,从路边拉一个什么都不知道的路人甲过来,让他选择,对于他来说,选择哪一扇门中奖的概率都是一样的1/2。因为它不知道那被排除的一扇门的存在。而对于小明来说,他掌握了更多信息,知道了一个错误选项,因此他改变选项从而赢得大奖的概率提升到了2/3 。

       4.更加简单粗暴的方法。我们列出所有可能。假设有A、B、C三扇门,A后面有大奖。那么基于第一次的选择可能的情况有以下:

 a.第一次选择A,主持人打开B(或C),小明选择C(或B).(变,没中奖)

 b.第一次选择B,主持人打开C,小明选择A.(变,中奖)

 c.第一次选择C,主持人打开B,小明选择A.(变,中奖)

 d.第一次选择A,主持人打开B(或C),小明仍然选择A.(不变,中奖)

 e.第一次选择B,主持人打开C,小明仍选择B.(不变,没中奖)

 f.第一次选择C,主持人打开B,小明仍然选择C.(不变,没中奖)

 很直观,如果选择改变选项的话有2/3的几率会中奖。

       5.网上看到网友关于这个问题解释的终极武器

       假设你买了一张彩票,此时上帝出现了,Ta对你说,小伙子,看到你买了这么多次,连一次5块的都没中过,这次我决定为你排除掉一般不能中奖的号码。

       那么请问,在上帝帮你排除掉那些号码后,你手里的这这张彩票的中奖几率会因此而变大吗?如果此时让你再买一张,你的中奖几率会变大吗?

这个故事是一个极其反直觉的绝佳的例子。

尽管伟大的法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾说过“概率只不过是以计算形式体现出来的常识而已。”

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