逆元（求乘法逆元的几种方法）

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逆元

加法逆元

乘法逆元

如何求

快速幂

扩展欧几里得

O(n)求1到n的乘法逆元

逆元

数学中，逆元素（英语：Inverse element）推广了加法中的加法逆元和乘法中的倒数。直观地说，它是一个可以取消另一给定元素运算的元素。

加法逆元

对于一个任意数n，存在加法逆元（英语：Additive Inverse，又称相反数），其与nn的和为零（加法单位元）。n的加法逆元表示为-n。

乘法逆元

数学上，一个数xx的倒数（reciprocal），或称乘法逆元（multiplicative inverse），是指一个与x相乘的积为1的数。显然在实数范围内x的乘法逆元是1/x​。

信息学中常用的乘法逆元是模逆元。
一整数a对同余n之模逆元是指满足以下公式的整数b
a b ≡ 1 (mod n).
整数a对模数n之模逆元存在的充分必要条件是a和n互素，若此模逆元存在，在模数n 下的除法可以用和对应模逆元的乘法来达成，此概念和实数除法的概念相同。

如何求

快速幂

对于质数pp，考虑费马小定理a^(p−1) mod p = 1，可以得到ii的逆元是pow(i, p - 2, p)。

对于合数pp，考虑欧拉定理a^(φ(p) ) mod p = 1，可以得到ii的逆元是pow(i, phi(p) - 1, p)。
但是因为对于一般的数字计算φ(p)复杂度较高，并不使用这个方法。

扩展欧几里得

因为快速幂非常好写，一般只有在模非质数，或者是卡常数的情况下使用这个算法。
解出ax+py=1的一组解(x,y)，x就是a关于模n的其中一个模逆元。
需要注意求解出的xx可能是负数。

O(n)求1到n的乘法逆元

inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
    inv[i] = (long long)inv[p % i] * (p - p / i) % p;
}

这个方法可以用于组合数的预处理。

这个方法还可以改写为递归版，以替代质数情况下用快速幂求逆元。

int inv(int x) {
    if (x == 1) {
        return 1;
    } else {
        return (long long)inv(p % i) * (p - p / i) % p;
    }
}

另一个常用与组合数预处理的做法是：
先预处理出1到n的阶乘，然后计算n阶乘的逆元，然后倒序推出n到1阶乘的逆元。

fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    fac[i] = (long long)fac[i - 1] * i % p;
}
invfac[n] = pow(fac[n], p - 2, p);
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    invfac[i] = (long long)invfac[i + 1] * (i + 1) % p;
}