[学习笔记] 二项式反演

• 由于某种原因这篇文章到现在才被发出来。
• 其实本质上是容斥，虽然我之前一直不是很理解这个容斥。
• 给定 $k\in \mathbb{N}$，则存在以下关系式：$$g_k=\sum _{i=k}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)f_i\iff f_k=\sum _{i=k}^n(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})g_i$$
• 证明：
  $$\begin{array}{rl}\sum _{i=k}^n(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})g_i& =\sum _{i=k}^n(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\left)\sum _{j=i}^n\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})f_j\\ & =\sum _{j=k}^n{f}_j\sum _{i=k}^j(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})\\ & =\sum _{j=k}^n{f}_j\sum _{i=k}^j(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{j-k}{i-k})\\ & =\sum _{j=k}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k}\right)f_j\sum _{i=0}^{j-k}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{j-k}{i})\\ & =\sum _{j=k}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k}\right)f_j(1-1{)}^{j-k}\end{array}$$
• 当且仅当 $j=k$ 时，$(1-1{)}^{j-k}$ 为 $1$，其余情况下均为 $0$。
• 所以原式即为 $f_k$。