因为是个数学蒟蒻所以不探讨二项式反演的求法，这篇博客只有利用容斥原理的模板，时间复杂度O(logN)O(logN)O(logN)证明在这公式S(n,k)=1k!

二项式反演简单的错排递推式∑i=0n(−1)iCni(n−i)!\sum_{i=0}^n(-1)^iC_n^i(n-i)!i=0∑n(−1)iCni(n−i)!

前言由于水平有限，这篇文章比较难懂，并且也有很多不够透彻的地方，如果您有任何的看法，非常感谢您私信指导。容斥dp用dp的方法来描述容斥，大概的想法是，把容斥系数分到每一步里去乘。通常当你有容斥做法，且适配的子集条件较为一般，且数据范围不足通过时考虑使用容斥dp。确实不太好描述，看题吧。来源神秘求长度为n≤2000n\leq2000n≤2000，值域为m≤2000m\leq2000m≤2000的序列

题目链接CF方向Luogu方向题目解法一个显然的转化是：恰好kkk条边不好求，所以把恰好转化成至少，然后进行二项式反演令fif_ifi为恰好kkk条边.........

文章目录一、常见错误代码细节其它二、一些技巧一、动态规划DP设计DP优化二、字符串三、数学数论等计数四、博弈五、树上问题六、图论七、网络流八、数据结构九、其它三、一些公式组合数二项式反演min/max容斥扩展单位根反演

有点难发现容斥系数设计的非常巧妙设f(i)f(i)f(i)表示恰好有iii条边相同的方案数，g(i)g(i)g(i)表示至少有iii条边相同的方案数根据二项式反演，g(i)=∑j≥i(ji)f(j)⇒f

其他随便排的方案数令gig_igi为恰好有iii个不合法段的方案数则有fi=∑j=i...gj(ji)f_i=\sum_{j=i}^{...}g_j\binom{j}{i}fi=∑j=i...gj(ij)二项式反演得

由于某种原因这篇文章到现在才被发出来。其实本质上是容斥，虽然我之前一直不是很理解这个容斥。给定k∈Nk\in\mathbbNk∈N，则存在以下关系式：gk=∑i=kn(ik)fi⇔fk=∑i=kn(−1)i−k(ik)gig_k=\sum\limits_{i=k}^{n}\binom{i}{k}f_i\Leftrightarrowf_k=\sum\limits_{i=k}^{n}(-1)^{i-k

首先有一个结论——二项式反演用f(n)f(n)f(n)表示钦定选择了nnn个的方案数，g(n)g(n)g(n)表示实际选择了nnn个数的方案，那么有f(n)=∑i=nm(−1)n−i(in)g(i)f(

的组数恰好比aibi的组数为x，则有x+x-k=n,推出x=(n+k)/2所以如果n+k是个奇数的话就直接结束了我们现在令k=(n+k)/2，那么问题就变成了找使得ai>bi的组数恰好为k的方案数考虑二项式反演

摘自维基百科容斥原理通式@@经典应用之二项式反演不在此赘述，献上学习博客一篇：求有多少个长度为n的排列a1,a2,...,an，满足对于所有的1<=i<=n，使得a

IIIBZO-J3622已经没有什么好怕的了运用知识：二项式反演DP排列组合IIHDU-1465不容易系列之一运用知识：二项式反演DP排列组合VUOJ#22外星人运用知识排列组合动态规划线性求逆组合数VIItty

反演公式c和d是两个跟n和r有关的函数根据用法不同，c和d是不同的一般数学家会先随便弄c函数然后经过复杂的计算和证明，得到d函数然后公式就可以套用了二项式反演公式(划重点)UVALive7040传送门题意

这篇blog讲的非常详细列几个常用的柿子f(n)=∑i=0n(−1)i(ni)g(i)  ⟺  g(n)=∑i=0n(−1)i(ni)f(i)f(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\tbinom{n}{i}g(i)\iffg(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\tbinom{n}{i}f(i)f(n)=i=0∑n(−1)i(in)g(i)⟺g(n)=i=0∑n(−1)i(in)f(

二项式反演：$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}g(i)$===>>$g(i)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}f(i)$对于组合数我们有$\sum

定义如果两个函数g，f满足：g(n)=∑i=1nCnif(i)g(n)=\sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}f(i)g(n)=∑i=1nCnif(i)那么f(n)=∑i=1n(−1)n−iCnig(i)f(n)=\sum_{i=1}^{n}{(-1)^{n-i}C_{n}^{i}g(i)}f(n)=∑i=1n(−1)n−iCnig(i)证明以上推下为例：1.将g函数表达式代入：f(n)=

,iFiFn=∑i=0nbn,iGiF_n=\sum_{i=0}^nb_{n,i}G_iFn=i=0∑nbn,iGi可认为aaa、bbb是两个下三角矩阵，且a⋅b=Ia\cdotb=Ia⋅b=I###二项式反演

二项式反演从错排数讲起，考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。

莫比乌斯反演引入定理另一种莫比乌斯反演证明性质求莫比乌斯函数值例题及题解二项式反演反演公式例题bzoj3622涂色问题DescriptionSolutionStirling反演第一类斯特林数递推方式第二类斯特林数求法递推容斥性质例题

AtCoderBeginnerContest172E-NEQ题意：求满足下列条件的长度为NNN且包含[1,M][1,M][1,M]范围内整数的序列A1,A2,⋯ ,ANA_1,A_2,\cdots,A_NA1,A2,⋯,AN及B1,B2,⋯ ,BNB_1,B_2,\cdots,B_NB1,B2,⋯,BN组成的序列对数量。∀1≤i#definelowbit(x)((x)&(-(x)))usingna

qwqqwqqwq机房最后一个学二项式反演的人众所周知二项式反演可以表示成fn=∑i=0n(−1)i×Cni×gi⟺gn=∑i=0n(−1)i×Cni×fif_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i\

题意我们记一个排列PPP的升高为kkk当且仅当存在kkk个位置iii使得PitypedeflonglongLL;constintN=200005;constintMOD=998244353;intn,jc[N],ny[N],g[N],a[N*4],b[N*4],rev[N*4],L;voidpre(intn){intlg=0;for(L=1;L>1]>>1)|((i&1)>=1;}returnan

从题意来看，就是求n个人的错排方案数。考虑递推的方法：nnn个人错排，nnn一定不在自己位置上，考虑nnn站在其它n−1n-1n−1个人中某一个人的位置，显然这样能将所有情况分成不相交的情况。假设nnn站在了iii的位置上，那么根据iii是否站在nnn的位置上可以再将情况分成两种：1：iii不在nnn的位置上，这相当于n−1n-1n−1个数错排，iii不能在nnn的位置。2：iii在nnn的位置上

题目链接：https://darkbzoj.tk/problem/2839题意：一个有N个元素的集合有2N个不同子集（包含空集）2^{N个不同子集（包含空集）}2N个不同子集（包含空集），现在要在这2N2^N2N个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数题解：设f[K]f[K]f[K]表示交集大小≥K\geK≥K的方案数，则f[K]=C(n,k)∗(22n−i−

好神的一道计数题呀.code:#include#include#include#defineN5000003#definelllonglong#definemod998244353#definesetIO(s)freopen(s".in","r",stdin)usingnamespacestd;intinvg[N],dp[N],f[N],fac[N],inv[N];llg[N];intqpow(i

Descriptionn=j]CijP(i,j)=[i>=j]C_i^jP(i,j)=[i>=j]Cij，这个其实是二项式反演的基本式子，它的逆矩阵就是二项式反演的容斥系数P(i,j)=[i>=j](−

luoguP4859已经没有什么好害怕的了(二项式反演)祭奠天国的bzoj。luogu题解时间先特判$n-k$为奇数无解。为了方便下记$m=(n+k)/2$为$A>B$的个数。恰好改钦定。

Contens1.秦九韶算法9.最小二乘法2.斯特林公式10.自守数3.外观数列4.整数拆分问题5.阿贝尔变换6.二项式反演7.马青公式8.艾森斯坦判别法1.秦九韶算法秦九韶算法是中国南宋时期数学家秦九韶提出的一种计算多项式的优化算法

二项式反演经典题我们先设dpi,jdp_{i,j}dpi,j表示到iii使得a>ba>ba>b的个数为jjj的方案数。

题解-P4491\mathrm{P4491}P4491题目意思题目传送门Sol\mathrm{Sol}Sol二项式反演题我们按套路设fif_{i}fi表示钦定有iii个颜色数为SSS的方案数。

先来说说二项式反演这件事情：P(x)=∑k=0xQ(k)(xk)Q(x)=∑k=0xP(k)(xk)(−1)x−kP(x)=\sum_{k=0}^xQ(k)\binomxk\\Q(x)=\su

（好久没碰差点忘了，赶快泄个推导目的是求恰好满足kkk个要求的方案数P(k)P(k)P(k)。考虑还是用满足至少iii个条件的式子算，不过要为原来的式子构造容斥系数α(j)\alpha(j)α(j)∑i=0n(ni)α(i)Q(i)\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\alpha(i)Q(i)i=0∑n(in)α(i)Q(i)可以考虑P(i)P(i)P(i)被算了几次。∑i=0n(

这个东西就叫做二项式反演。结果就是g(n)=∑i=0n(−1)n−iCinf(i)g(n)=∑i=0n(−1)n−iCnif(i)怎么证？

很好的推柿子题题目链接考虑二项式反演.我们令\(g(i)\)表示至少有\(i\)对魔法对.那么很显然\(ans=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}C_i^kg(i)\)首先,我们让每张牌都带标号

一些数字（卡塔兰数、组合数、第一类斯特林数、第二类斯特林数、贝尔数、斐波那契数列）多项式运算及生成函数（FFT、NTT、MTT、FWT）一些筛法（埃氏筛法、杜教筛、Min_25筛）一些反演（莫比乌斯反演、二项式反演

二项式反演与错排问题常见简单组合恒等式：\(C_n^m=C_n^{n-m}\)\(C_n^m=C_n^{m-1}+C_{n-1}^{m-1}\)\(\sum_{i=0}^{n}C_n^i=2^i\)\(

{i\choosej}$二项式反演一下：$\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!

条边与原来树上的边重合，剩下的边自由连接成树的方案数\(g(k)\)于是得到一个公式：\[g(k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}f(i)\]意义为枚举剩下的\(K\)条边有哪些不重合于是我们二项式反演

\[f(n)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrowg(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i)\]以下是本人的证明，是直接证明。前置证明：\(\binom{r}{m}\binom{m}{k}=\binom{r}{k}\binom{r-k}{m-k}\),这个简单划一下就行了。\[\begin{ali

请大家注意：因为作者写的文章中的梯等式公式总是莫名的显示错误，所以作者的许多文章中的梯等式都暴力拆成一步一个等式了。造成的不适，请谅解。同时，如果文章中还有其他错误，请联系作者，谢谢。反演公式：第一个式子的推导：已知设：，其中是待定的系数。那么有：可能有很多构造的方法，我们只考虑构造满足：注意到那么证明很显然，可以发现，中应该有一个组合数因子，所以给上式配一个组合数：又因为所以有对比式和式可以得出

【题解】CF917DStrangerTrees(prufer序列+二项式反演)考虑有一个东西叫做\(prufer\)序列，然后个东西叫做图联通方案数。

至多形式：$f[i]=\sum\limits_{j=0}^{i}C_n^i*g[j]\Leftrightarrowg[i]=\sum\limits_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}C_i^j*f[j]$至少形式$f[i]=\sum\limits_{j=i}^{n}C_j^i*g[j]\Leftrightarrowg[j]=\sum\limits_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}C_j^

Description“简单无向图”是指无重边、无自环的无向图（不一定连通）。一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和。给定n和k，请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和。因为答案很大，请对998244353取模输出。$n\le10^9,k\le200000$化学学考时含义推式子+手动打表找规律得到了一个$O(nlogn)$的式子开心的很我以为我要AC了回来看数据范围就升天了。问N

一、做法1（容斥/二项式反演+dp）1.1化式子首先肯定第一个想到的式子就是\[Ans=\sum_{i=1}^{\infty}i*P(在染第i次时刚好黑完)\]这是根据期望的定义直接得到的。然后发现

Description为了报答小C的苹果,小G打算送给热爱美术的小C一块画布,这块画布可以抽象为一个长度为n的序列,每个位置都可以被染成m种颜色中的某一种.然而小C只关心序列的n个位置中出现次数恰好为s的颜色种数,如果恰好出现了s次的颜色有k种,则小C会产$W_k$的愉悦度.小C希望知道对于所有可能的染色方案,他能获得的愉悦度的和对1004535809取模的结果是多少.$n\le10^7$$m\l

（至少...知道是什么）各种反演：二项式反演,莫比乌斯反演，MinMax容斥（至少会背公式）各种卷积：卷积，狄利克雷卷积，子集卷积，集合并卷积，集合交卷积，集合对称卷积（至少明白是什么意思）这几天比较系统的学了一下微积分和导数

目录二项式反演入门写在前面二项式定理结论证明二项式反演结论证明第二种形式例题分析错排问题球染色染色问题CF1228E二项式反演入门写在前面前几天做CF的时候做了一道容斥，感觉很迷，不知道式子怎么推出来的昨天

常见公式：先给出几个重要的公式/结论：一些常见的二项式反演：\(f_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}g_i\Rightarrowg_n=\sum_{i=0}^{n}(

二项式反演，针对组合原理的容斥。莫比乌斯反演，针对约数和倍数的容斥。斯特林反演，针对集合划分的容斥。最值反演（$Min\_Max$容斥），针对集

[学习笔记]二项式反演例题：[King'sColors][https://vjudge.net/problem/Kattis-kingscolors]题意：n个点的树，用恰好k种颜色染色，并且要求相邻两个点不同