Beamspace MIMO for High-Dimensional Multiuser Communication at Millimeter-Wave Frequencies 阅读笔记一

摘要：工作频率为30-300GHz的毫米波(mm-wave)系统为满足无线网络不断增长的容量需求提供了独特的机会。除了更大的数量级带宽外，毫米波的小波长还可以实现高维多输入多输出(MIMO)操作。

然而，当使用传统的MIMO技术时，充分利用毫米波的优势需要过高的收发器复杂性。在本文中，我们提出并分析了几种线性，降低复杂度的多用户MIMO (MU-MIMO)预编码器的容量和。这些预编码器利用波束空间MIMO (B-MIMO)通信的概念——将数据复用到作为近似信道特征函数的正交空间波束上。由于在毫米波下的准光传播，MIMO信道被期望是低秩（low-rank）的，低秩表现在波束空间信道矩阵的稀疏性上。

这通过多波束选择的概念实现了近乎最优的秩和复杂度降低。我们提出的数值容量结果表明，降低复杂性的B-MIMO预编码器能够非常接近其全维对码器的性能，其复杂性可以跟踪移动站(MSs)的数量。

在毫米波系统中，MSs的数量预计远低于系统尺寸，这使得数字信号处理的复杂性大大降低，并且在配备模拟波束形成前端的系统中，硬件复杂性也降低了。因此，所提出的复杂性较低的多用户预编码器为在毫米波MU-MIMO网络中以最低的收发器复杂性实现千兆位/秒的和速率提供了近乎最佳的途径。

索引术语：毫米波无线，千兆无线，高维 MIMO，大规模MIMO，波束成形，多用户预编码器

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II. 系统模型

我们重点研究了一个具有多天线阵列的接入点(AP)与 $K$ 个单天线移动 MSs 通信。我们研究了更具挑战性的下行通信场景——上行链路问题得到了很好的研究[19]，可以沿着这里讨论的路线轻松制定。让 AP 配备一个 $n$ 维天线，为简单起见，我们将其视为临界采样均匀线性阵列(ULA)。我们注意到，该模型还捕获了配备执行模拟波束形成的连续孔径天线的ap的性能[6]，[7]。在 $k^{\text{th }}$ MS处接收到的信号由

$$\mathbf{r}={\mathbf{H}}^H\mathbf{x}+\mathbf{w},\mathbf{H}=\left[{\mathbf{h}}_1,\cdots ,{\mathbf{h}}_K\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $\mathbf{x}=[x_1,\dots ,x_n{]}^T$ 为 $n\times 1$ 传输信号，${\mathbf{h}}_k$ 为第 $n\times 1$ 信道矢量，wk~ CN(0，σ2))为加性高斯白噪声(AWGN)。将所有MSs的信号叠加在K ×1向量r = [r1，···，rK]T中，我们得到天线域系统方程

$$\mathbf{r}={\mathbf{H}}^H\mathbf{Gs}+\mathbf{w},E\left[\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2\right]=\mathrm{tr}\left(\mathbf{G}{\mathbf{\Lambda }}_s{\mathbf{G}}^H\right)\le \rho \text{\hspace{1em}(2)}$$

其中H为表征系统的n ×K通道矩阵，w ~ CN(0， σ2I)。我们的重点是设计传输信号的线性预编码矩阵G, x = Gs = PK i=1 gi si，其中s是不同MSs的独立符号K ×1向量。整个系统方程变成

$$\mathbf{r}={\mathbf{H}}^H\mathbf{Gs}+\mathbf{w},E\left[\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2\right]=\mathrm{tr}\left(\mathbf{G}{\mathbf{\Lambda }}_s{\mathbf{G}}^H\right)\le \rho \text{\hspace{1em}(3)}$$

其中第二个等式表示对总发射功率的约束，ρ，${\mathbf{\Lambda }}_s=E\left[{\mathbf{ss}}^H\right]$ 表示 $s$ 的对角相关矩阵。

A. Channel Model

信道矩阵 $H$ 控制着MU-MIMO链路的性能。对于临界采样的n维ULA，通道可以通过 $n\times 1$ 阵列转向矢量精确建模

$${\mathbf{a}}_n(\theta )={\left[e^{-j2\pi \theta i}\right]}_{i\in \mathcal{I}(n)},\theta =0.5\sin (\varphi )\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 $\mathcal{I}(n)=\{\ell -(n-1)/2:\ell =0,1,\cdots n-1\}$ 是一个以0为中心的对称索引集。导向矢量 ${\mathbf{a}}_n(\theta )$ 表示一个离散的复空间正弦波，其 spatial frequency $\theta \in [-0.5,0.5]$ 对应于方向 $\varphi \in [-\pi /2,\pi /2]$ [6]，[7]，[16]的点源

由于毫米波频率的传播具有高度方向性和准光学性质，LoS传播是主要的传播方式，可能包含一组稀疏的单弹跳多径分量（single-bounce multipath components）[15]。我们假设所有MSs都存在LoS路径。设 ${\theta }_{k,0}\text{, }k=1，\cdot \cdot \cdot ，K$ 表示 $k$ 个 MSs 的LoS方向(空间频率)。那么 $k^{th}$ MS的LoS通道为 ${\mathbf{h}}_k={\beta }_{k,0}{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}({\theta }_{k,0})$，其中 ${\beta }_{k,0}$ 为复路径损耗。一般来说，对于稀疏的多径信道

$${\mathbf{h}}_k={\beta }_{k,0}{\mathbf{a}}_n\left({\theta }_{k,0}\right)+\sum _{i=1}^{N_p}{\beta }_{k,i}{\mathbf{a}}_n\left({\theta }_{k,i}\right)\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $\{{\theta }_{k,i}\}$表示路径角，$\{{\beta }_{k,i}\}$ 表示与 $k^{th}$ MS 相关的不同路径相关的复杂路径损失。多路径分量的振幅 $|{\beta }_{k,i}|$ 通常比 LoS 分量 $|{\beta }_{k,0}|$弱 $5\text{ dB}$ 到 $10\text{ dB}$[15]。在本文中，我们专注于纯LoS通道，${\theta }_{k,0}={\theta }_k$，$|{\beta }_{k,0}|=1$，${\beta }_{k,i}=0$，对于所有 $i\ne 0$ 。

B. Beamspace System Model

波束空间 MIMO 系统表示由式(1)通过发射机处的固定波束形成获得。波束形成矩阵 ${\mathbf{U}}_o$ 的列是方向矢量，对应于 $n$ 个固定空间频率/角度，间距均匀 $\Delta {\theta }_o=\frac{1}{n}$ [6], [7],[16]:

$${\mathbf{U}}_o=\frac{1}{\sqrt{n}}{\left[{\mathbf{a}}_n\left(i\Delta {\theta }_o\right)\right]}_{i\in \mathcal{I}(n)}\text{\hspace{1em}(5)}$$

它们表示覆盖整个空间视界($-\pi /2\le \phi \le \pi /2$)的 $n$ 个正交波束，构成了 $n$ 维空间信号空间的基。实际上，${\mathbf{U}}_o$ 是一个酉离散傅立叶变换（DFT）矩阵：${\mathbf{U}}_o^H{\mathbf{U}}_o={\mathbf{U}}_o{\mathbf{U}}_o^H=\mathbf{I}$ 。

通过在(2)中选择 $\mathbf{G}={\mathbf{U}}_o{\mathbf{G}}_b$ 得到波束空间系统表示

$$\mathbf{r}={\mathbf{H}}_b^H{\mathbf{G}}_b{\mathbf{s}}_b+\mathbf{w},{\mathbf{H}}_b={\mathbf{U}}_o^H\mathbf{H}=\left[{\mathbf{h}}_{b,1},\cdots ,{\mathbf{h}}_{b,K}\right]\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中 ${\mathbf{s}}_b=s$ 表示波束空间符号向量，${\mathbf{G}}_b$ 为波束空间预编码器。${\mathbf{x}}_b={\mathbf{G}}_b{\mathbf{s}}_b$ 表示预编码的波束空间发射信号矢量(例如 CAP-MIMO 中馈源天线上的信号)。由于 ${\mathbf{U}}_o$ 是一个酉矩阵，波束空间信道矩阵 ${\mathbf{H}}_b$ 是 $\mathbf{H}$ 的完全等价表示。

        [H, Gain, At] = GenChannelSimp(Nt, K, Np, 0.5); % mmWave channel
        % H = K x Nt, Gain = Np x K, At = Nt x Np x K, 
        % Np = 10; % number of paths per user
        
		% =========== Multiuser Beamspace MIMO precoder (B-MIMO) ============== %
        D = dftmtx(Nt);
        Hf = H*D;
        [maxVal, maxInd] = sort(diag(Hf'*Hf), 'descend'); % sort column with decreasing magnitude
        FBMIMO = D(:, maxInd(1:K));
        FbBMIMO = pinv(H*FBMIMO);%返回矩阵 A 的 Moore-Penrose 伪逆
        Wt = FBMIMO*FbBMIMO;% analog x baseband precoding
        WBMIMO = Wt*inv(sqrt(diag(diag(Wt'*Wt))));

C. Beam Selection

$H_b$ 最重要的特性是它的稀疏结构代表了不同 MSs 的方向，如图2(a)中 LoS 链路所示。$k^{\text{th }}$ 列 ${\mathbf{h}}_{b,k}={\mathbf{U}}_o^H{\mathbf{h}}_k$ （图2(a)中的行）是 $k^{\text{th }}$ MS 信道的波束空间表示，在 MS 的真实 LoS 方向 ${\theta }_k$ 附近有几个主导元素。

波束空间信道的这种稀疏特性被用于设计降低复杂性的波束空间预编码器，通过波束选择的概念提供接近最佳的性能。

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{M}}_k=\left\{i\in \mathcal{I}(n):{\left|h_{b,k}(i)\right|}^2\ge {\gamma }_k\underset{i}{\max }{\left|h_{b,k}(i)\right|}^2\right\}\\ & \mathcal{M}=\bigcup _{k=1,\cdots ,K}{\mathcal{M}}_k\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中 ${\mathcal{M}}_k$ 是 $k^{\text{th}}$ MS 的稀疏掩码，由阈值 ${\gamma }_k\in (0,1)$ 决定。这种波束选择相当于选择 ${\mathbf{H}}_b$ 的 $p=|\mathcal{M}|$ 行的子集，得到以下低维系统方程

$$\mathbf{r}={\tilde{\mathbf{H}}}_b^H{\tilde{\mathbf{G}}}_b{\mathbf{s}}_b+\mathbf{w},{\tilde{\mathbf{H}}}_b={\left[{\mathbf{H}}_b(\ell ,:)\right]}_{\ell \in \mathcal{M}}\text{\hspace{1em}(8)}$$

其中 ${\tilde{\mathbf{H}}}_b$ 为所选波束对应的 $p\times K$ 波束空间信道矩阵，${\tilde{\mathbf{G}}}_b$ 为对应的 $p\times K$ 预编码器矩阵，其中 $p\le n$。

对于给定 $\mathbf{H}$，多用户信道总功率（channel power）定义为 ${\sigma }_c^2=\mathrm{tr}\left(\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H\right)=\mathrm{tr}\left({\mathbf{H}}_b{\mathbf{H}}_b^H\right)$，在简单 LoS 模型下为 ${\sigma }_c^2=n{\sum }_{k=1}^K{\left|{\beta }_{k,0}\right|}^2=nK$。可以选择波束选择阈值 $\{{\gamma }_k\}$，使 ${\tilde{\mathbf{H}}}_b$ 的第 $k$ 列捕获 ${\mathbf{h}}_{b,k}$ 功率的显著部分 ${\eta }_k$ (例如 ${\eta }_k\ge 0.9$ )。这反过来意味着，${\tilde{\mathbf{H}}}_b$ 捕获的通道功率的分数 $\eta$ 至少为 ${\min }_{k=1,\dots ,K}{\eta }_k$。

相反，可以选择稀疏掩模 ${\mathcal{M}}_k$ 为每个 MS 选择 $m$ 个主导（最强）波束，即 $m$ 波束掩模。这就隐含地将 $\{{\gamma }_k\}$ 定义为每个用户的最强波束和第 $m$ 最强波束的功率之比。对于简单的 LoS 信道模型，这对应于选择最接近MS的真实 LoS 方向 ${\theta }_k$ 的 $m$ 正交波束。在本文中，我们使用2波束掩模来降低复杂性(见图2(b))。从附录中的分析可以看出，二光束掩模的 $\eta$ 期望值可以下界为

$$E[\eta ]\ge \frac{2}{n}{\int }_0^{\frac{\Delta {\theta }_o}{2}}{f}_n^2(\delta )+f_n^2\left(\delta -\Delta {\theta }_o\right)d\delta \text{\hspace{1em}(9)}$$

其中 $f_n(\theta )=\frac{\sin (\pi n\theta )}{\sin (\pi \theta )}$ 是 Dirichlet sinc function。

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III. MULTIUSER BEAMSPACE MIMO PRECODERS

线性 MU-MIMO 预编码器主要有三种类型：匹配滤波器(MF)、强制零(ZF)和维纳滤波器(WF)。对于全维天线域系统(2)，三种预编码器由[20]-[22]给出

$$\mathbf{G}=\alpha \mathbf{F}=\alpha \left[{\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,\cdots ,{\mathbf{f}}_K\right],\alpha =\sqrt{\frac{\rho }{\mathrm{tr}\left(\mathbf{F}{\mathbf{\Lambda }}_s{\mathbf{F}}^H\right)}}\text{\hspace{1em}(10)}$$

$${\mathbf{F}}_{MF}=\mathbf{H},{\mathbf{F}}_{ZF}=\mathbf{H}{\left({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}\right)}^{-1}\text{\hspace{1em}(11)}$$

$${\mathbf{F}}_{WF}={\left(\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H+\zeta \mathbf{I}\right)}^{-1}\mathbf{H},\zeta =\frac{\mathrm{tr}\left({\mathbf{\Sigma }}_w\right)}{\rho }=\frac{{\sigma }^{2}K}{\rho }\text{\hspace{1em}(12)}$$

其中预编码器矩阵 $G$ 为 $n\times K$ 矩阵，$\alpha$ 保证满足(2)中的总发射功率约束。在波束空间中，将 $\mathbf{H}$ 替换为 ${\mathbf{H}}_b$，可由上述方程得到等效的全维预编码器 ${\mathbf{G}}_b$。类似地，将 $\mathbf{H}$ 替换为 ${\tilde{\mathbf{H}}}_b$，通过(10)-(12)得到低复杂度的B-MIMO预编码器矩阵 ${\tilde{\mathbf{G}}}_b(p\times K)$。

正如我们在数值结果部分所展示的那样，降低复杂度的 B-MIMO 预编码器可以提供全维预编码器的性能，但其复杂度可以取决于 MSs $k$ 的数量。全维预编码器需要 $\mathcal{O}(n)$ MIMO处理来确定 $n\times K\mathbf{G}$，如(10)-(12)所示。然而，对于由 $p\times K{\tilde{\mathbf{H}}}_b$ 决定的低维B-MIMO系统，只需要进行 $\mathcal{O}(p)$ MIMO处理。使用CAP-MIMO[6]，[7]中的模拟波束形成前端，这也将收发器硬件复杂性(RF链的数量，包括混频器，D/A或A/D转换器和功率放大器)从 $O(n)$ 降低到 $O(p)$。

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IV. PERFORMANCE AND NUMERICAL RESULTS

DFT 可以表示为一个 $N\times N$ 的矩阵 $\mathbf{F}$，乘以一个长度为 $N$ 的输入向量。DFT 矩阵的元素定义如下：

$$\mathbf{F}[k,n]=\exp \left(-\frac{i2\pi kn}{N}\right)$$