数学建模（三）整数规划

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一、整数规划基本原理

数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。

1.1 整数规划的分类

(1)变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
(2)变量部分限制为整数的，称混合整数规划。

1.2 整数规划的特点

1. 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：

    (1)原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。

    (2)整数规划可能不存在可行解。

    (3)有可行解(当然就存在最优解)，但最优解值变差。

2. 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。

1.3 案例

合理下料问题：

设用某型号的圆钢下零件A1,A2...,Am的毛坯。在一根圆钢上下料的方式有B1,B2,... Bn种，每种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式，使得即满足需要，所用的原材料又最少?

如表所示：

 模型：

其中，xj表示用Bj种方式下料根数，aij为每种下料方式可以得到各种零件的毛坯数，bi每种零件的需要量。

1.4  整数规划的数学模型一般形式