《算法导论》第三章-思考题（参考答案）

函数的增长

3.1

（多项式的渐进行为） 假设 是一个关于 的 次多项式，其中 ， 是一个常量。使用渐进符号的定义来证明下面的性质。

a. 若 ，则 。

b. 若 ，则 。

c. 若 ，则 。

d. 若 ，则 。

e. 若 ，则 。

---

已知：，易得 。

故 。

情况 1：

，即：。

故 。

情况 2：

，即：。

故 。

情况 3：

，即：。

故 。

情况 4：

，即：。

故 。

情况 5：

，即：。

故 。

---

3-2

（相对渐进增长） 为下表中的每对表达式 指出 是否是 的 或 。假设 且 均为常量。回答应以表格的形式，将“是”或“否”写在每个空格中。

a.			否	否	是	是	否
b.			否	否	是	是	否
c.			否	否	否	否	否
d.			是	是	否	否	否
e.			是	否	是	否	是
f.			是	否	是	否	是

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a.

令 代替 ，并令 代替 a，可得：

即：。

又：若 。故：。

b.

故，。

令 。故 。

c.

。又 的值为在区间 中波动，故 与 无任何关系

d.

严格递增，故对于任意正常量 ，总存在 ，使得 ，即：

也易证：故对于任意正常量 ，总存在 ，使得 ，即：

e.

。故 。

f.

故，

又， 是严格递增的函数。故，

故， ，也即

也即

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3.3

（根据渐进增长率排序）

a. 根据增长的阶来排序下面的函数，即求出满足 的函数的一种排列 。把你的表划分成等价类，使得函数 和 在相同类中当且仅当 。

1. 五.六
2. 二.五
3. 四.五
4. 一.五
5. 四.三
6. 三.三
7. 五.四
8. 二.一
9. 三.四 四.二
10. 一.六
11. 二.二
12. 一.四 四.四
13. 五.五 二.四
14. 五.三 四.一
15. 一.三
16. 五.二
17. 二.三
18. 三.五
19. 四.六
20. 三.一
21. 一.二
22. 三.二 六.一
23. 一.一
24. 二.六 三.六

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b.给出非负函数 的一个例子，使得对所有在（a）部分中的函数 ， 既不是 也不是 。

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3-4

（渐进记号的性质） 假设 和 为渐进正函数。证明或反驳下面的每个猜测。

a. 蕴含 。

错。例如：。

---

b. 。

错。例如：。

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c. 蕴含 ，其中对所有足够大的 ，有 且 。

正确。

对于足够大的 ，有 ；且 ，则存在正常量 ，使得 ，有

​

​

又 ，故当 ，且 足够大，有：

​

故原问题成立。

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d. 蕴含 。

错。例如：。

---

e. 。

当 时，；其他条件下，不成立。

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f. 蕴含 。

正确。，即存在正常量 ，使得 ，有

​ ，即

令 ，得 。

---

g. 。

错。例如：。

---

h. 。

正确。

易得，，即存在正常量 ，使得 ，都有 。

令 ，即存在正常量 ，使得 ，都有 。

令 ，则 ，有 。

即 。

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3-5

（ 与 的一些变形） 某些作者用一种与我们稍微不同的方式来定义 ；假设我们使用 （读作“ 无穷”）来标识这种可选的定义。若存在正常量 ，使得对无穷多个整数 ，有 ，则称 。

a. 证明：对渐进非负的任意两个函数 和 ，或者 或者 或者二者均成立，然而，如果使用 来代替 ，那么该命题并不为真。

主要缺少了 这个条件；则若 ，必然有无穷多个正整数 ，使得 成立；

若 ，则上述两者均成立；

反例：，但 。

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b. 描述用 代替 来刻画程序运行时间的潜在优点与缺点。

优点： 对下届的要求更宽松，可以兼容更多的情况；

缺点： 并非严格的渐进下界。因此实际意义并不大。

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​ 某些作者也用一种稍微不同的方式来定义 ；假设使用 来标识这种可选的定义。我们称 当且仅当 。

c. 如果使用 代替 但仍然使用 ，定理 3.1 中的“当且仅当”的每个方向将出现什么情况？

没有变化。 成立意味着 渐进非负，故 。

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​ 有些作者定义 （读作“软 ”）来意指忽略对数因子的 ：

：存在正常量 和 ，使得对所有 ，有 。

d. 用一种类似的方式定义 和 。证明与定理 3.1 相对应的类似结论。

：存在正常量 和 ，使得对所有 ，有 。

：存在正常量 和 ，使得对所有 ，有 。

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3-6

（多重函数） 我们可以把用于函数 中的多重操作符 * 应用于实数集上的任意单调递增函数 。对给定的常量 ，我们定义多重函数 为

​

该函数不必再所有情况下都是良定义的。换句话说，值 是为缩小其参数到 或更小所需函数 重复应用的数目。

​ 对如下每个函数 和常量 ，给出 的一个尽量紧确的界。

a.		0
b.		1
c.		1
d.		2
e.		2
f.		1	无法收敛
g.		2
h.		2

e. 。设 经过 次开根号，余下的数小于等于 2，即 ，则

​

​

​

​

​

即：，故 。

h. ，当 足够大时，

​

由上表易得，。