回溯算法详解

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回溯算法详解

回溯VS递归

回溯算法的实现过程

n个结点构造多本节要讨论的是当给定 n（n>=0）个结点时，可以构建多少种形态不同的树。

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回溯算法详解

回溯算法，又称为“试探法”。解决问题时，每进行一步，都是抱着试试看的态度，如果发现当前选择并不是最好的，或者这么走下去肯定达不到目标，立刻做回退操作重新选择。这种走不通就回退再走的方法就是回溯算法。

例如，在解决列举集合 {1,2,3} 中所有子集的问题中，就可以使用回溯算法。从集合的开头元素开始，对每个元素都有两种选择：取还是舍。当确定了一个元素的取舍之后，再进行下一个元素，直到集合最后一个元素。其中的每个操作都可以看作是一次尝试，每次尝试都可以得出一个结果。将得到的结果综合起来，就是集合的所有子集。

实现代码为：

1. #include
2. //设置一个数组，数组的下标表示集合中的元素，所以数组只用下标为1，2，3的空间
3. int set[5];
4. //i代表数组下标，n表示集合中最大的元素值
5. void PowerSet(int i,int n){
6. //当i>n时，说明集合中所有的元素都做了选择，开始判断
7. if (i>n) {
8. for (int j=1; j<=n; j++) {
9. //如果树组中存放的是 1，说明在当初尝试时，选择取该元素，即对应的数组下标，所以，可以输出
10. if (set[j]==1) {
11. printf("%d ",j);
12. }
13. }
14. printf("\n");
15. }else{
16. //如果选择要该元素，对应的数组单元中赋值为1；反之，赋值为0。然后继续向下探索
17. set[i]=1;PowerSet(i+1, n);
18. set[i]=0;PowerSet(i+1, n);
19. }
20. }
21. int main() {
22. int n=3;
23. for (int i=0; i<5; i++) {
24. set[i]=0;
25. }
26. PowerSet(1, n);
27. return 0;
28. }

运行结果：

1 2 3
1 2
1 3
1
2 3
2
3

回溯VS递归

很多人认为回溯和递归是一样的，其实不然。在回溯法中可以看到有递归的身影，但是两者是有区别的。

回溯法从问题本身出发，寻找可能实现的所有情况。和穷举法的思想相近，不同在于穷举法是将所有的情况都列举出来以后再一一筛选，而回溯法在列举过程如果发现当前情况根本不可能存在，就停止后续的所有工作，返回上一步进行新的尝试。

递归是从问题的结果出发，例如求 n！，要想知道 n！的结果，就需要知道 n*(n-1)! 的结果，而要想知道 (n-1)! 结果，就需要提前知道 (n-1)*(n-2)!。这样不断地向自己提问，不断地调用自己的思想就是递归。

回溯和递归唯一的联系就是，回溯法可以用递归思想实现。

回溯算法的实现过程

使用回溯法解决问题的过程，实际上是建立一棵“状态树”的过程。例如，在解决列举集合{1,2,3}所有子集的问题中，对于每个元素，都有两种状态，取还是舍，所以构建的状态树为：

 

图1 状态树

回溯算法的求解过程实质上是先序遍历“状态树”的过程。树中每一个叶子结点，都有可能是问题的答案。图 1 中的状态树是满二叉树，得到的叶子结点全部都是问题的解。

在某些情况下，回溯算法解决问题的过程中创建的状态树并不都是满二叉树，因为在试探的过程中，有时会发现此种情况下，再往下进行没有意义，所以会放弃这条死路，回溯到上一步。在树中的体现，就是在树的最后一层不是满的，即不是满二叉树，需要自己判断哪些叶子结点代表的是正确的结果。

n个结点构造多本节要讨论的是当给定 n（n>=0）个结点时，可以构建多少种形态不同的树。

如果两棵树中各个结点的位置都一一对应，可以说这两棵树相似。如果两棵树不仅相似，而且对应结点上的数据也相同，就可以说这两棵树等价。本节中，形态不同的树指的是互不相似的树。

前面介绍过，对于任意一棵普通树，通过孩子兄弟表示法的转化，都可以找到唯一的一棵二叉树与之对应。所以本节研究的题目也可以转化成：n 个结点可以构建多少种形态不同的二叉树。

每一棵普通树对应的都是一棵没有右子树的二叉树，所以对于 n 个结点的树来说，树的形态改变是因为除了根结点之外的其它结点改变形态得到的，所以，n 个结点构建的形态不同的树与之对应的是 n-1 个结点构建的形态不同的二叉树。

如果 tn 表示 n 个结点构建的形态不同的树的数量，bn 表示 n 个结点构建的形态不同的二叉树的数量，则两者之间有这样的关系：tn=bn-1。

【方法一】
最直接的一种方法就是推理。当 n=0 时，只能构建一棵空树；当 n=2 时，可以构建 2 棵形态不同的二叉树，如图 1（A）；当 n=3 时，可以构建 5 棵形态互不相同的二叉树，如图 1（B）。

图 1 不同形态的二叉树

对于具有 n（ n>1 ）个结点的二叉树来说，都可以看成是一个根结点、由 i 个结点组成的左子树和由 n-i-1 个结点组成的右子树。

当 n=1 时，也适用，只不过只有一个根结点，没有左右孩子（i=0）。

可以得出一个递推公式：

 

 

通过对公式一步步的数学推算，最后得出，含有 n 个结点的不相似的二叉树的数量为：

【方法二】

从遍历二叉树的角度进行分析，对于任意一棵二叉树来说，它的前序序列和中序序列以及后序序列都是唯一的。其实是这句话还可以倒过来说，只要确定了一棵二叉树的三种遍历序列中的两种，那么这棵二叉树也可以唯一确定。

例如，给定了一个二叉树的前序序列和中序序列分别为：

前序序列：A B C D E F G
中序序列：C B E D A F G

可以唯一得到的二叉树如图 2（4）：

图 2 构造二叉树的过程示意图

分析：通过前序序列得知，结点A为二叉树的根结点，结合中序序列，在结点 A 左侧的肯定为其左孩子中的所有结点，右边为右孩子的所有结点，如图 2（1）所示。

再分析 A 结点的左孩子，在前序序列看到，结点 A 后紧跟的是结点 B，由此断定结点 A 的左孩子是 B，再看中序序列，结点 B 左侧只有一个结点 C ，为 B 的左孩子，结点 B 右侧的结点E 和 D 为右孩子，如图 2（2）。

再分析结点 B 的右孩子，前序序列看到，结点 D 在 E 的前边，所有 D 为 B 的右孩子。在中序序列中，结点 E 在 D 前边，说明 E 是 D 的左孩子，如图 2（3）。

最后分析结点 A 的右孩子，由前序序列看到， F 在 G 前边，说明F为根结点。在中序序列中也是如此，说明，G 是 F 的右孩子。如图 2（4）所示。

如果要唯一确定一棵二叉树，必须知道至少两种遍历序列。如果只确定一种序列，无法准确判定二叉树的具体构造。

 

图 3 前序序列（1，2，3）的二叉树

如图 3 所示为前序序列（1，2，3）构建的不同形态的二叉树，他们的中序序列各不相同。所以不同形态二叉树的数目恰好就是前序序列一定的情况下，所能得到的不同的中序序列的个数。

中序序列是对二叉树进行中序遍历获得的，遍历的过程实质上就是结点数据进栈出栈的过程。所以，中序序列的个数就是数列（1，2，3）按1-2-3的顺序进栈，各元素选择在不同的时间点出栈，所获的的不同的出栈顺序即为中序序列，而中序序列的数目，也就是不同形态的二叉树的个数。

 

图 4 中序遍历时进栈和出栈的过程

根据数列中数据的个数 n，所得到的排列顺序的数目为：

 

 

通过以上两种方式，都可以知道 n 个结点能构建的不同形态的二叉树的数量，再结合 tn=bn-1，就可以计算出 n 个结点能构建的不同形态的树的个数。