泰勒公式

泰勒公式

泰勒(Taylor)中值定理1: 如果函数f(x)在处具有n阶导数，那么存在的一个邻域，对于该邻域内一，有：

其中

泰勒中值定理2: 如果函数f(x)在某个邻域内具有阶导数，那么对应任一，有：

其中

这里是与之间的某个值。
此公式也被称为在处（或按的幂展开）的带有拉格朗日余项的阶泰勒公式，而的表达式被称为拉格朗日余项。

在泰勒中值定理1中，如果取，那么带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式：

在泰勒定理2中，如果取，那么在和之间，因此可以令 (0<<1)，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：

(0

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证明：



当时

证明：