第一章,04-n阶行列式的几何意义

第一章,04-n阶行列式的几何意义

    • 简介
    • 几个特殊行列式
      • 对角行列式
      • 副对角行列式
      • 上(下)三角行列式
    • 几何意义
      • 二阶行列式
        • 转置矩阵
        • 性质1
        • 性质2
        • 性质3
        • 性质4
        • 性质5
        • 性质6
      • 三阶行列式
        • 性质1
        • 性质2
        • 性质3
        • 性质4

简介

这是《玩转线性代数》的学习笔记
少壮不努力,老大徒伤悲,学校里没学好,工作多年后又从头看,两行泪。。。

几个特殊行列式

对角行列式

除主对角线外的其它元素都为零
∣ λ 1 ⋱ λ n ∣ \begin{vmatrix} \lambda_1\\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{vmatrix} λ1λn
λ i = a i i \lambda_i=a_{ii} λi=aii:
∣ λ 1 ⋱ λ n ∣ = ∣ a 11 ⋱ a n n ∣ = Σ p 1 . . . p n ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 . . . a n p n \begin{vmatrix} \lambda_1\\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}\\ & \ddots & \\ & & a_{nn} \end{vmatrix}=\Sigma_{p_1...p_n}(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n} λ1λn=a11ann=Σp1...pn(1)ta1p1a2p2...anpn
i ≠ j i\neq j i=j时, a i j = 0 a_{ij}=0 aij=0,因此只有对角线元素相乘项不为0,且符号为正。故原式 = λ 1 . . . λ n =\lambda_1...\lambda_n =λ1...λn

副对角行列式

除副对角线外的其它元素都为零
∣ λ 1 ⋯ λ n ∣ \begin{vmatrix} & & \lambda_1\\ & \cdots & \\ \lambda_n \end{vmatrix} λnλ1
λ i = a i ( n − i + 1 ) \lambda_i=a_{i(n-i+1)} λi=ai(ni+1):
∣ λ 1 ⋯ λ n ∣ = ∣ a 1 n ⋯ a n 1 ∣ = Σ p 1 . . . p n ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 . . . a n p n = ( − 1 ) τ [ n ( n − 1 ) − 321 ] a 1 n a 2 ( n − 1 ) ⋯ a n 1 = ( − 1 ) 1 2 n ( n − 1 ) λ 1 . . . λ n \begin{vmatrix} & & \lambda_1\\ & \cdots & \\ \lambda_n \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} & & a_{1n}\\ & \cdots & \\ a_{n1} \end{vmatrix}=\Sigma_{p_1...p_n}(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n} =(-1)^{\tau[n(n-1)-321]}a_{1n}a_{2(n-1)}\cdots a_{n1}=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\lambda_1...\lambda_n λnλ1=an1a1n=Σp1...pn(1)ta1p1a2p2...anpn=(1)τ[n(n1)321]a1na2(n1)an1=(1)21n(n1)λ1...λn

上(下)三角行列式

主对角线以下(上)的元素全为0,称为上(下)三角行列式,以上三角为例:
D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n 0 a 22 ⋯ a 2 n 0 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 a n m ∣ D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & a_{nm} \end{vmatrix} D=a11000a12a22000a1na2nanm
不含0的项只有对角线,因此 D = a 11 a 22 ⋯ a n n D=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} D=a11a22ann

几何意义

对二阶行列式 D = ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ D=\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{vmatrix} D=a1b1a2b2,把每一行都当成一个向量,记为 a = ( a 1 , a 2 ) , b = ( b 1 , b 2 ) a=(a_1,a_2),b=(b_1,b_2) a=(a1,a2),b=(b1,b2) α , β \alpha,\beta α,β为向量 a , b a,b a,b与x轴的顺时针方向的夹角,黄色部分为向量 a 、 b a、b ab张成的平行四边形,其中 ∣ ∣ a ∣ ∣   ∣ ∣ b ∣ ∣ {||a|| \ ||b ||} a b为向量 a , b a,b a,b的长度,见下图(来源):
第一章,04-n阶行列式的几何意义_第1张图片
则有:
∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 b 2 − a 2 b 1 = ∣ ∣ a ∣ ∣   ∣ ∣ b ∣ ∣ ∣ ∣ a ∣ ∣   ∣ ∣ b ∣ ∣ ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) = ∣ ∣ a ∣ ∣   ∣ ∣ b ∣ ∣ ( b 2 ∣ ∣ b ∣ ∣ a 1 ∣ ∣ a ∣ ∣ − b 1 ∣ ∣ b ∣ ∣ a 2 ∣ ∣ a ∣ ∣ ) = ∣ ∣ a ∣ ∣   ∣ ∣ b ∣ ∣ s i n ( β − α ) = S ( a , b ) ( S ( a , b ) 表 示 以 a , b 为 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积 ) \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1 =\frac{||a|| \ ||b ||}{||a|| \ ||b ||} (a_1b_2-a_2b_1) =||a|| \ ||b || (\frac{b_2}{||b||} \frac{a_1}{||a||} - \frac{b_1}{||b||} \frac{a_2}{||a||}) =||a|| \ ||b || sin(\beta - \alpha)=S(a,b) \quad (S(a,b)表示以a,b为边的平行四边形的面积) a1b1a2b2=a1b2a2b1=a ba b(a1b2a2b1)=a b(bb2aa1bb1aa2)=a bsin(βα)=S(a,b)(S(a,b)a,b)

二阶行列式

可以看到行列式符号与 s i n ( β − α ) sin(\beta - \alpha) sin(βα)相同,即 S ( a , b ) S(a,b) S(a,b)不一定为正数,因此将 S ( a , b ) S(a,b) S(a,b)称为 有 向 面 积 {\color{BurntOrange} 有向面积}

转置矩阵

D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} D=a11a21an1a12a22an2a1na2nann,把此行列式沿主对角线翻转(行列对换),称为D的转置,记为 D T D^T DT:
D T = ∣ a 11 a 21 ⋯ a n 1 a 12 a 22 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n ∣ D^T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} DT=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann

性质1

互换两行或两列,符号改变
可以从面积出发:
∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = S ( a , b ) = ∣ ∣ a ∣ ∣   ∣ ∣ b ∣ ∣ s i n ( β − α ) = − ∣ ∣ b ∣ ∣   ∣ ∣ a ∣ ∣ s i n ( α − β ) = − S ( b , a ) = − ∣ b 1 b 2 a 1 a 2 ∣ \begin{vmatrix} a_1 & a_2\\b_1 & b_2 \end{vmatrix} =S(a,b)=||a|| \ ||b||sin(\beta-\alpha) =-||b||\ ||a||sin(\alpha-\beta)=-S(b,a) =-\begin{vmatrix} b_1 & b_2\\a_1 & a_2 \end{vmatrix} a1b1a2b2=S(a,b)=a bsin(βα)=b asin(αβ)=S(b,a)=b1a1b2a2
也可以从定义出发:
∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 b 2 − a 2 b 1 \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1 a1b1a2b2=a1b2a2b1
∣ b 1 b 2 a 1 a 2 ∣ = a 2 b 1 − a 1 b 2 = − ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ \begin{vmatrix} b_{1} & b_{2} \\ a_{1} & a_{2} \\ \end{vmatrix} =a_2b_1-a_1b_2 =-\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{vmatrix} b1a1b2a2=a2b1a1b2=a1b1a2b2

性质2

k ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = ∣ k a 1 k a 2 b 1 b 2 ∣ = ∣ a 1 a 2 k b 1 k b 2 ∣ k\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} ka_{1} & ka_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ kb_{1} & kb_{2} \\ \end{vmatrix} ka1b1a2b2=ka1b1ka2b2=a1kb1a2kb2,k为任意实数。
如下图(来源)所示,可见有向面积扩大至k倍:
第一章,04-n阶行列式的几何意义_第2张图片
因有 k ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = k S ( a , b ) = S ( k a , b ) = ∣ k a 1 k a 2 b 1 b 2 ∣ k\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{vmatrix} =kS(a,b)=S(ka,b) =\begin{vmatrix} ka_{1} & ka_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{vmatrix} ka1b1a2b2=kS(a,b)=S(ka,b)=ka1b1ka2b2

性质3

∣ a 1 a 2 b 1 + c 1 b 2 + c 2 ∣ = ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ + ∣ a 1 a 2 c 1 c 2 ∣ \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1}+c_{1} & b_{2} +c_{2}\\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ c_{1} & c_{2} \\ \end{vmatrix} a1b1+c1a2b2+c2=a1b1a2b2+a1c1a2c2
如下图(来源)所示:
第一章,04-n阶行列式的几何意义_第3张图片
可见 S ( a , b + c ) = S ( a , b ) + S ( a , c ) S(a,b+c)=S(a,b)+S(a,c) S(a,b+c)=S(a,b)+S(a,c)

性质4

∣ a 1 a 2 k a 1 k a 2 ∣ = 0 \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ ka_{1} & ka_{2} \\ \end{vmatrix}=0 a1ka1a2ka2=0
同向向量共线,有向面积为0:
第一章,04-n阶行列式的几何意义_第4张图片

性质5

∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = ∣ a 1 a 2 b 1 + λ a 1 b 2 + λ a 2 ∣ \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1}+\lambda a_1 & b_{2}+\lambda a_2\\ \end{vmatrix} a1b1a2b2=a1b1+λa1a2b2+λa2
即将某行的常数倍加到另一行上,行列式值不变。
从下图可见,实际为将四边形沿a方向拉伸,底边和高都不变,因此面积不变:
第一章,04-n阶行列式的几何意义_第5张图片

性质6

转置行列式与原行列式相等
由定义可证:
∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 b 2 + a 2 b 1 ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ = a 1 b 2 + a 2 b 1 \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{vmatrix} =a_1b_2+a_2b_1\\ \begin{vmatrix} a_{1} & b_1 \\ a_2 & b_{2} \end{vmatrix}=a_1b_2+a_2b_1 a1b1a2b2=a1b2+a2b1a1a2b1b2=a1b2+a2b1
D T = D D^T=D DT=D
(也可以通过有向面积相等得到)

三阶行列式

三阶行列式的值是由其行向量或列向量按顺序所张成的平行六面体的有向体积,以原行或列的排列为标准次序,任意两个向量的顺序改变一次符号变化一次。
第一章,04-n阶行列式的几何意义_第6张图片

性质1

d e t ( a , b , c + d ) = d e t ( a , b , c ) + d e t ( a , b , d ) det(a,b,c+d)=det(a,b,c)+det(a,b,d) det(a,b,c+d)=det(a,b,c)+det(a,b,d)
第一章,04-n阶行列式的几何意义_第7张图片

性质2

d e t ( a , a , c ) = 0 det(a,a,c)=0 det(a,a,c)=0
只要含同向向量,det一定为0:
第一章,04-n阶行列式的几何意义_第8张图片

性质3

k d e t ( a , b , c ) = d e t ( k a , b , c ) = d e t ( a , k b , c ) = d e t ( a , b , k c ) kdet(a,b,c)=det(ka,b,c)=det(a,kb,c)=det(a,b,kc) kdet(a,b,c)=det(ka,b,c)=det(a,kb,c)=det(a,b,kc)
任意一个向量长度变化,体积也跟着发生同比例的变化:
第一章,04-n阶行列式的几何意义_第9张图片

性质4

d e t ( a , b , c ) = d e t ( a , b , k a + c ) det(a,b,c)=det(a,b,ka+c) det(a,b,c)=det(a,b,ka+c)
将某行的k倍加到另一行行列式值不变,与二阶行列式性质5类似,为沿某个方向拉伸:
第一章,04-n阶行列式的几何意义_第10张图片

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