【数据结构与算法】动态规划算法

动态规划算法

应用场景 - 背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅，现有如下物品：

物品	重量	价格
吉他（G）	1	1500
音响（S）	4	3000
电脑（L）	3	2000

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

介绍

1. 动态规划（Dynamic Programming）算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治算法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是相互独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。
4. 动态规划乐意通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

动态规划算法的最佳实践 - 背包问题

思路分析

• 背包额问题主要是指一个给定容量的背包，若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包，使物品的价值最大。其中又分 01 背包和完全背包（完全背包指的是：每种物品都有无限件可用）
• 这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个，而无限背包可以转化为 01 背包。
• 算法的主要思想：利用动态规划来解决，每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i] 和 v[i] 来确定是否需要将该物品放入背包中，即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i] 分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量，再令 v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值，，则我们有下面的结果：
  1. v[i][0] = v[0][j] = 0;
  2. 当w[i] > j时，v[i][j] = v[i - 1][j]
  3. 当j >= w[i] 时：v[i][j] = max{v[i - 1][j],v[i - 1][j - w[i]] + v[i]}

代码实现

public static void main(String[] args) {
    int[] w = {1, 4, 3}; // 物品的重量
    int[] val = {1500, 3000, 2000}; // 物品的价格 这里val[i] 就是思路中的 v[ii]
    int m = 4; // 背包的容量
    int n = val.length; // 物品的个数

    // 创建二维数组
    // v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够加入容量为 j 的背包中的最大价值
    int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
    // 为了记录放置商品的情况，创建二维数组存储
    int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

    // 初始化第一行第一列
    for (int i = 0; i < v.length; i++) {
        v[i][0] = 0; // 将第一列置为 0
    }
    for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
        v[0][i] = 0; // 将第一行置为 0
    }

    // 根据思路中的公式进行动态规划处理
    for (int i = 1; i < v.length; i++) { // 不处理第一行
        for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { // 不处理第一列
            if (w[i - 1] > j) { // 因为我们的程序 i 是从 1 开始的，因此原来的公式中的 w[i] 改为 w[i - 1]
                v[i][j] = v[i - 1][j];
            } else {
                // 说明：
                // 因为我们的 i 是从 1 开始的，所以修改为以下代码
                // v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                // 为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接使用上面的公式，需要使用 if - else来体现公式
                if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                    v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                    path[i][j] = 1;
                } else {
                    v[i][j] = v[i - 1][j];
                }
            }
        }
    }

    // 输出表格
    for (int i = 0; i < v.length; i++) {
        for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
            System.out.print(v[i][j] + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    // 输出商品
    int i = path.length - 1;
    int j = path[0].length - 1;
    while (i > 0 && j > 0){
        if (path[i][j] == 1){
            System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
            j -= w[i - 1];
        }
        i--;
    }
}