欧拉公式
文章目录
- 欧拉公式
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- e
- 欧拉恒等式
- 欧拉公式
- 欧拉公式 推导2
-
- 步骤1: 使用泰勒级数展开
- 步骤2: 将 i x i x ix 代入 e x e^x ex
- 复平面上推导欧拉公式
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- 步骤1：复平面上的复数表示
- 步骤2：定义复数的指数形式
- 步骤3：求导
- 步骤4：连接两种形式
- 步骤5：求解微分方程
- 欧拉公式 恒等式推导2
欧拉公式
在学习欧拉公式前，需要先理解复数的概念：[复数.md](file:///H:/VNote3/VNote/数学/复数.md)
e
数学常数 e e e 的幂可以通过极限表示为：
e r = lim n → ∞ ( 1 + r n ) n e^r = \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n er=limn→∞(1+nr)n
这里的 r r r 是任意实数。当 r = 1 r = 1 r=1 时，这就是 e e e的标准定义。这个公式可以用来描述以连续复利增长的模式增长的数量，其中 r r r 是增长率。
视频地址：用几何直觉理解欧拉公式！
【欧拉公式直观化】
欧拉恒等式
o ( 1 / n ) o(1/n) o(1/n) 是高阶无穷小
欧拉公式
欧拉公式 推导2
欧拉公式 e i x = cos x + i sin x e^{ix} = \cos x + i \sin x eix=cosx+isinx 的推导可以通过多种方法完成。以下是其中一种常见的推导方法，使用泰勒级数展开。
步骤1: 使用泰勒级数展开
首先，我们可以使用泰勒级数将 e x e^x ex、 cos x \cos x cosx 和 sin x \sin x sinx 分别展开为幂级数。
-
对于 e x e^x ex：
e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + … e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots ex=1+x+2!x2+3!x3+4!x4+… -
对于 cos x \cos x cosx：
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + … \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots cosx=1−2!x2+4!x4−6!x6+… -
对于 sin x \sin x sinx：
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + … \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots sinx=x−3!x3+5!x5−7!x7+…
步骤2: 将 i x i x ix 代入 e x e^x ex
现在，我们可以将 i x i x ix 代入 e x e^x ex 的泰勒级数展开中，并将其与 cos x \cos x cosx 和 sin x \sin x sinx 的展开式进行比较。
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以上推导得出的就是欧拉公式。
欧拉公式的这一推导清楚地展示了复指数函数与三角函数之间的联系，并在许多数学、科学和工程应用中起到了核心作用。
复平面上推导欧拉公式
在复平面上推导欧拉公式也是一种有趣和直观的方法。以下是这一推导方法的步骤：
步骤1：复平面上的复数表示
在复平面上，复数 z z z 可以用其实部和虚部表示，即 z = a + b i z = a + bi z=a+bi。或者，也可以使用极坐标表示，其中模长为 r r r 幅角为 θ \theta θ：
z = r ( cos θ + i sin θ ) z = r(\cos \theta + i\sin \theta) z=r(cosθ+isinθ)
步骤2：定义复数的指数形式
我们现在想要定义复数的指数形式，并通过此来推导欧拉公式。考虑复数 w = e i θ w = e^{i\theta} w=eiθ，我们可以表示其为：
w = cos θ + i sin θ w = \cos \theta + i\sin \theta w=cosθ+isinθ
步骤3：求导
对 w w w 求导，我们可以得到：
d w d θ = − sin θ + i cos θ \frac{dw}{d\theta} = -\sin \theta + i\cos \theta dθdw=−sinθ+icosθ
同时，我们也可以对 e i θ e^{i\theta} eiθ 求导得到：
d d θ e i θ = i e i θ \frac{d}{d\theta}e^{i\theta} = i e^{i\theta} dθdeiθ=ieiθ
步骤4：连接两种形式
由于 w w w 和 e i θ e^{i\theta} eiθ 的定义是相同的，因此我们可以将上述导数连接起来：
− sin θ + i cos θ = i ( cos θ + i sin θ ) -\sin \theta + i\cos \theta = i(\cos \theta + i\sin \theta) −sinθ+icosθ=i(cosθ+isinθ)
这就是复平面上的欧拉公式的微分方程形式。
步骤5：求解微分方程
这个微分方程的解即是欧拉公式：
e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta eiθ=cosθ+isinθ
此推导在复平面上直观地展示了欧拉公式，并通过微分方程将复数的指数形式与其三角形式联系了起来。这一连接在许多数学和工程领域都是非常重要的工具。
欧拉公式 恒等式推导2
当 θ \theta θ 等于 π \pi π 时，我们可以将其带入欧拉公式，得到一个非常著名的恒等式。
由欧拉公式：
e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta eiθ=cosθ+isinθ
我们将 θ = π \theta = \pi θ=π 代入，得到：
e i π = cos π + i sin π e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi eiπ=cosπ+isinπ
由于 cos π = − 1 \cos \pi = -1 cosπ=−1 和 sin π = 0 \sin \pi = 0 sinπ=0，我们有：
e i π = − 1 + 0 i = − 1 e^{i\pi} = -1 + 0i = -1 eiπ=−1+0i=−1
将这个等式重新排列，得到欧拉恒等式：
e i π + 1 = 0 e^{i\pi} + 1 = 0 eiπ+1=0
这个恒等式以一种简洁的方式连接了五个最重要的数学常数：0、1、 e e e、 i i i，和 π \pi π。它被许多数学家和科学家视为数学之美的象征。