蓝桥杯每日N题（杨辉三角形）

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考点：二分+求组合数

分析

要在这堆数字中找到n
观察发现：
(1)三角形左右两边的数字对称
我们只需要看左半边的数字即可

(2)画一条中轴线在中间
发现中轴线上的点的值为C(2n,n)
找的时候,从内往外找,依次去枚举每一斜行。
为什么？
假设我们找到n,那外面的数字必然是小于n的,所以我们从内开始去找n。
第一次找到的数必定在左边且减少我们的枚举次数。

接下来怎么做？
我们从第16斜行去枚举中轴线上的起点开始,依次去枚举每一斜行
从中查找组合数,看能否二分出答案来。

概念理清：

组合数：C(a,b)
a:底数–>当前枚举的斜行数–>二分的答案(r)
**b:**真数–>k

二分过程

不清楚二分的过程可以看下面的图：

图形解读：

组合数：C(a,b)
a:底数–>当前枚举的斜行数–>二分的答案(r)
b:真数–>k

枚举的是每一斜行,从中轴线的起点开始。
相当于我check一个k(枚举的斜行数),我二分的是当前这一斜行的组合数的底数。
根据二分原理,去更新mid的值。
再看我当前枚举的这一斜行C(mid,k)能否找到n
枚举这一斜行都找不到后,我再往前去枚举上一斜行,直至第一个斜行

求组合数

public static long C(long a,long b) {
	long res=1;
	for(long i=a,j=1;j<=b;i--,j++) {
		res=res*i/j;
		if(res>n)return res;
	}
	return res;
    }

杨辉三角形数字定位技巧

在数字序列的第几个位置：(r+1)*r/2+k+1
r:组合数的底数

代码详解

import java.util.*;
public class Main{
  static int n;
  public static long C(long a,long b) {
     //求组合数
	long res=1;
	for(long i=a,j=1;j<=b;i--,j++) {
		res=res*i/j;
		if(res>n)return res;
	}
	return res;
    }
    
    public static boolean check(int k) {
	long l=2*k,r=Math.max(l,n);
    //记得l,n取max，否则最一开始当l>r时无法二分
	//C(l,r):l表示的是组合数底数的下界
	//       r表示的是组合数底数的上界
	
	//二分
	while(l<r) {
    long mid=l+r>>1;
	if(C(mid,k)>=n)r=mid;
	//更新我当前枚举的这一斜行组合数的底数
	//让它往上或往下走
	else l=mid+1;
	}
	
	if(C(r,k)!=n)return false;
	//找不到等于n的数,就返回false，去枚举下一斜行。
	
//C(r,k):二分出的组合数
//k:k表示的是列数,由于是从第0行开始,所以是k+1
//这样可以得出数字n在第几列。

//r:r表示的是行数,(1+r)*r/2可以得到数字在哪一行
//(1+r)*r/2再加上移动的第几列即k+1
//这样可以得到n在整个序列中是在第几个位置。
	System.out.println((1+r)*r/2+k+1);
	return  true;
    }
    
    public static void main(String []args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        n=sc.nextInt();
        for(int i=16;;i--){
            //C16的32小于1e9
            //从16斜行开始枚举
            //找到满足条件的数就break
            if(check(i))break;
        }
    }
}

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