高中奥数 2021-11-22

2021-11-22-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P018 例5）

设、为复数且,证明:

分析与解

给出两种证明方法:

证法1

先证明另一个形式上简单一些的恒等式:

.(1)

这是因为令,则左边即为,右边为,两边显然是相等的.

由此,令,注意到即知题目中的恒等式是成立的,证毕.

证法2

利用恒等式:,则

$\left\vert k\left\vert\beta\right\vert^{\dfrac{1}{2}}-\alpha\dfrac{\beta}{\left\vert\beta\right\vert}^{\dfrac{1}{2}}\right\vert^{2}=\left(k\left\vert\beta\right\vert^{\frac{1}{2}}\right)^{2}+\left(k\left\vert\beta\right\vert^{\frac{1}{2}}\right)^{2}-2\Re\left(k\alpha\beta\right)=2k\left[k\left\vert\beta\right\vert-\Re\left(\alpha\beta\right)\right],$

证毕.

注

事实上证法1中的那个形式上简单一些的恒等式也可以由证法2中的那个恒等式推出这是一个熟知的结论,但是有相当多的学生不习惯,或者说不喜欢用这个式子,因为觉得这个式子破坏了对称性,不如来得美观.但在本题中,恰恰是这个实形式的恒等式对解题所起的作用要比对称形式的那个式子大(读者可以自行比较).

2021-11-22-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P018 例6）

记,

求证:,.

分析与解

设,则

$\begin{aligned} A+B\mathrm{i}&=z+z^{3}+z^{5}+z^{7}+z^{9}\\ &=\dfrac{z\left(1-z^{10}\right)}{1-z^{2}}\\ &=\dfrac{z-z^{11}}{1-z^{2}}\\ &=\dfrac{z-\left(\cos \pi -\mathrm{i}\sin \pi \right)}{1-z^{2}}\\ &=\dfrac{z+1}{1-z^2}\\ &=\dfrac{1}{1-z}\\ &\dfrac{1-\overline{z}}{\left(1-z\right)\left(1-\overline{z}\right)}\\ &=\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{11}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{11}}{2-\left(z+\overline{z}\right)}\\ &=\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{11}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{11}}{2\left(1-\cos\dfrac{\pi}{11}\right)}\\ &=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{11}}{1-\cos\dfrac{\pi}{11}}\mathrm{i}\\ &=\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\cot\dfrac{\pi}{22}. \end{aligned}$

所以,,证毕.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P019 例7）

求的值.

分析与解

引入复数,设,则.于是,有

所以

$\begin{aligned} \tan 20^{\circ}+4\sin 20^{\circ}&=\dfrac{z^{2}-1}{\left(z^{2}+1\right)\mathrm{i}}+4\cdot \dfrac{z^{2}-1}{2z\mathrm{i}}\\ &=\dfrac{2\pi ^{4}+z^{3}-z-2}{\mathrm{i}\left(z^{3}+z\right)}\\ &=\dfrac{2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)z+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)-z-2}{\mathrm{i}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}+z\right)}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}\left(z\mathrm{i}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\dfrac{1}{2}\mathrm{i}+z\mathrm{i}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\ &=\sqrt{3}. \end{aligned}$

故.

注(1)以上两题阐明了复数与三角的联系.

(2)下面给出一组求值题,有趣的是,它们的值均.

;

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（一） P020 例8）

已知数列、,对大于1的整数,均成立

且, ,其中为已知锐角,试求数列、的通项公式.

分析与解

引入复数,构造等比数列设,则

$\begin{aligned} \dfrac{z_{n}}{z_{n-1}}&=\dfrac{\left(a_{n-1}\cos\theta-b_{n-1}\sin\theta\right)+\left(a_{n-1}\sin\theta+b_{n-1}\cos\theta\right)\mathrm{i}}{a_{n-1}+b_{n-1}\mathrm{i}}\\ &=\dfrac{\left(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right)\left(a_{n-1}+b_{n-1}\mathrm{i}\right)}{a_{n-1}+b_{n-1}\mathrm{i}}\\ &=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta, \end{aligned}$

这说明复数列是以为首项,以为公比的等比数列,于是,有

$\begin{aligned} z_{n}&=\left(1+i\tan \theta \right)\left(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \right)^{n-1}\\ &=\sec \theta \cdot \left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\left(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \right)^{n-1}\\ &=\sec \theta \cdot \left(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \right)^{n}\\ &=\left(\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta \right)\sec\theta, \end{aligned}$

,故,.

注这是复数与数列的结合.

高中奥数 2021-11-22

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