【数据结构】二叉树的链式结构的实现 -- 详解
一、前置说明
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习。
typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
BTDataType data;
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;
// 动态申请一个新节点
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{
BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
assert(newnode);
newnode->data = x;
newnode->left = NULL;
newnode->right = NULL;
return newnode;
}
BTNode* CreatBinaryTree()
{
BTNode* node1 = BuyNode(1);
BTNode* node2 = BuyNode(2);
BTNode* node3 = BuyNode(3);
BTNode* node4 = BuyNode(4);
BTNode* node5 = BuyNode(5);
BTNode* node6 = BuyNode(6);
node1->left = node2;
node1->right = node4;
node2->left = node3;
node4->left = node5;
node4->right = node6;
return node1;
}注意：上述代码并不是创建二叉树的方式。
二、构建二叉树
// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi)
{
if (*pi >= n)
{
return NULL;
}
char ch = a[*pi];
(*pi)++;
if (ch == '#')
{
return NULL;
}
BTNode* newNode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
newNode->data = ch;
newNode->left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
newNode->right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
return newNode;
}
三、二叉树的遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历 (Traversal) 是按照某种特定的规则，依次对二叉 树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。
二叉树的遍历方式主要有四种，先介绍三种，最后再介绍第四种。（利用了分治的思想）
- 前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历)，方式为先遍历根结点，左子树，右子树。
- 中序遍历 (Inorder Traversal)，方式为先遍历左子树，根结点，右子树。
- 后序遍历 (Postorder Traversal)，方式为先遍历左子树，右子树，根结点。
// 二叉树前序遍历 void PreOrder(BTNode* root); // 二叉树中序遍历 void InOrder(BTNode* root); // 二叉树后序遍历 void PostOrder(BTNode* root);
其中这三种遍历方式一般都用递归进行实现。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以 N(Node）、L(Left subtree）和 R(Right subtree）又可解释为 根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR 和 LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。注意 ：1️⃣ 深度优先遍厉：前序遍厉、中序遍厉、后序遍厉，注意有些说法只认同前序遍厉。
2️⃣ 广度优先遍厉：层序遍厉。
1、前序遍历
按照前序遍历的方式，我们应该先遍历根结点 A，然后再去遍历左子树。当进入左子树后，我们需要再执行前序遍历方式，即遍历 A 的左子树中的根结点 B，然后再遍历 B 的左子树。当我们再进入左子树，又是先遍历根结点D，然后又遍历左子树，按照顺序遍历到 R，此时终于完成根结点，左子树，接下来遍历右子树。进入右子树后，又遍历根结点T... ...，所以这种遍历方式属于递归性质的。（遍历顺序为：A–>B–>D–>R–>T–>E–>Y–>C–>Q–>U–>W）
// 二叉树前序遍历 void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) // 根->左子树->右子树 { if (root == NULL) { printf("# "); // 用#代表NULL return; } printf("%c ", root->data); BinaryTreePrevOrder(root->left); BinaryTreePrevOrder(root->right); }
【递归图解】
2、中序遍历
中序遍历方式为左子树，根结点，右子树。仍以上面的图为例，遍历顺序为：
R–>D–>T–>B–>E–>Y–>A–>Q–>U–>C–>W
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)// 左子树->根->右子树
{
if (root == NULL)
{
printf("# ");
return;
}
BinaryTreeInOrder(root->left);
printf("%c ", root->data);
BinaryTreeInOrder(root->right);
}3、后序遍历
后序遍历方式为 左子树，右子树，根结点。仍以上面的图为例，遍历顺序应该为：
R–>T–>D–>Y–>E–>B–>U–>Q–>W–>C–>A
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) // 左子树->右子树->根
{
if (root == NULL)
{
printf("# ");
return;
}
BinaryTreePostOrder(root->left);
BinaryTreePostOrder(root->right);
printf("%c ", root->data);
}【总结】
- 前序遍历结果：1->2->3->4->5->6
- 中序遍历结果：3->2->1->5->4->6
- 后序遍历结果：3->2->5->6->4->1
4、层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为 1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
// 层序遍历 void LevelOrder(BTNode* root);
注意：层序遍历一般需要使用队列。 （队列内容前面已经详细介绍过了）
【思路】先让根入队列，然后再让根出队列，当左子树不为 NULL 时让左子树入队列，当右子树不为NULL时让右子树入队列，然后不断地迭代下去，直至队列为空。记得出队列前要保存当前值来访问到该元素，Pop 到队列当中的值是地址，通过该地址来访问其中的 data。
层序遍历结果为： 3->4->3->8->6->6->7
我们该如何利用队列实现呢？
- 判断当前队列是否为空。
- 队列为空：结束；队列非空：取出队列第一个元素入队列。
- 上一层出来后，再入下一层（即它的左右孩子节点）。
由于前面已经对队列的各种操作进行了详解，这里就不展开讲了。（直接运用之前写的 Queue.c 和 Queue.h）
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
if (root) // 树的根节点root不为空 将根节点入队列
{
QueuePush(&q, root);
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q); // 获取队列头部元素
printf("%c ", front->data); // 打印节点值
QueuePop(&q); // 出队列
// 如果当前树根的左右孩子不为空 则分别入队列
if (front->left)
{
QueuePush(&q, front->left);
}
if (front->right)
{
QueuePush(&q, front->right);
}
}
printf("\n");
QueueDestroy(&q);
}
四、二叉树其它接口的实现
1、二叉树的节点个数
按照递归的思想，计算二叉树的节点数量，我们可以认为 二叉树的节点个数 = 左子树数量 + 右子树数量 + 1，其中 1 是当前根节点数量（前提条件是存在根节点）。
⚪【思想 1】
迭代，使用栈来模拟递归的过程，用全局变量 / 静态局部变量来记录节点个数，遍历二叉树的所有节点，并累加节点的个数。
⚪【思想 2】
递归，利用分治的思想，函数使用带返回值的方式，其内部的递归本质上是一个后序遍厉（左子树->右子树->根节点）。
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}
2、二叉树叶子节点个数
按照递归的思想，计算二叉树的叶子节点数量，我们可以认为 叶子节点个数 = 左子树叶子节点个数 + 右子树叶子节点个数 + 0，0 是因为当前根结点有子树，说明根结点不是叶子结点。
⚪【思想】
以 left 和 right 为标志，如果都为 NULL，则说明该节点是叶子节点。
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
// 先判断当前访问的节点是否为空
if (root == NULL)
{
return 0;
}
// 当前节点不为空，它的左右孩子都为空，说明该节点是叶子节点
if (root->left == NULL && root->right == NULL)
{
return 1;
}
// 当前节点不为空，左右孩子不都为空，则继续往下遍历
return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
3、二叉树第k层节点个数
⚪【思想】
求当前树的第 k 层节点个数 = 左子树的第 k-1 层节点个数 + 右子树的第 k-1 层节点个数 (当 k=1 时，说明此层就是目标层)
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
assert(k >= 1);
if (root == NULL) // 先判断当前访问的节点是否为空
{
return 0;
}
if (k == 1) // 当前节点不为空，而k已经减到1了，说明遍历到了第k层，说明该节点是第k层的
{
return 1;
}
// 还没有遍历到第k层，我们就继续往下遍历
return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}如何知道这个节点是不是第 k 层的？
求二叉树第 k 层的节点个数，我们从根节点开始往下遍历（按根->左->右的顺序），每遍历一次 k 就减 1一次，当 k==1 时，说明我们遍历到了第 k 层，此时访问该层的节点。如果它不为空，则二叉树第 k 层的节点个数就要 +1。
4、二叉树查找值为x的节点
⚪【思想】
按照递归思想，先判断当前结点是否是目标节点，然后查找左子树，再查找右子树。
如果左右子树都没有找到，就返回NULL。
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
if (root == NULL) // 先判断当前访问的节点是否为空
{
return NULL;
}
if (root->data == x) // 判断要找的x值节点是不是当前节点
{
return root;
}
// 不是当前节点，则继续去该节点的左子树中找
BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
if (ret1)
{
return ret1;
}
// 还没找到，再继续去该节点的右子树中找
BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
if (ret2)
{
return ret2;
}
return NULL; // 当前节点及其左右子树中都没找到，返回NULL
}5、销毁二叉树
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{
// 如果使用前中序遍历销毁，节点会先被销毁，变成随机值，就不知道它的左右子树位置了 所以采用后序遍历销毁
if (*root == NULL)
{
return;
}
BinaryTreeDestory(&((*root)->left));
BinaryTreeDestory(&((*root)->right));
free(*root);
*root = NULL; // 将根节点设置为NULL 防止野指针
}
注意：如果这里使用前序遍历或中序遍历进行销毁，节点会先被销毁，变成随机值，就不知道它的左右子树位置了，所以应该采用后序遍历来销毁二叉树。
如果这里传进来的是一级指针，由于要在函数内改变形参的值，无法改变外部实参的值，所以我们需要在函数外置头节点指针为NULL。
6、判断二叉树是否是完全二叉树
⚪【思想】
层序遍历时，把空节点也入队列。
- 完全二叉树中，非空节点是连续的，则空节点是连续的。
- 非完全二叉树中，非空节点不是连续的，则空节点不是连续的。
所以在出队时，判断一下，出到第一个空节点时，跳出循环；
在下面重新写一个循环继续出队，并检查出队元素：
- 如果第一个空节点后面的全是空节点，说明是完全二叉树。
- 如果第一个空节点后面的有非空节点，说明是非完全二叉树。
// 判断二叉树是否是完全二叉树（利用层序遍历的思想来判断）
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
if (root) // 树的根节点root不为空 将根节点入队列
{
QueuePush(&q, root);
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q); // 获取队列头部元素
QueuePop(&q); //出队列
if (front)
{
// 不管当前树根的左右孩子是否为空，都分别入队列
QueuePush(&q, front->left);
QueuePush(&q, front->right);
}
else
{
break; //遇到空后，跳出层序遍历
}
}
// 如果后面全是空，则是完全二叉树，否则不是完全二叉树
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (front)
{
QueueDestroy(&q);
return false;
}
}
QueueDestroy(&q);
return true; // 出队的节点中，如果没有出现非空节点，说明是完全二叉树出队的节点中，如果没有出现非空节点，说明是完全二叉树
}
五、代码整合
1、Queue.h
// Queue.h
#pragma once
#include
#include
#include
#include
struct BinaryTreeNode;
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;
typedef struct QueueNode
{
struct QueueNode* next;
QDataType data;
}QNode;
typedef struct Queue
{
QNode* head;
QNode* tail;
}Queue;
void QueueInit(Queue* pq);
void QueueDestroy(Queue* pq);
void QueuePush(Queue* pq, QDataType x);
void QueuePop(Queue* pq);
QDataType QueueFront(Queue* pq);
QDataType QueueBack(Queue* pq);
int QueueSize(Queue* pq);
bool QueueEmpty(Queue* pq); 2、Queue.c
// Queue.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Queue.h"
void QueueInit(Queue* pq)
{
assert(pq);
pq->head = pq->tail = NULL;
}
void QueueDestroy(Queue* pq)
{
assert(pq);
QNode* cur = pq->head;
while (cur)
{
QNode* next = cur->next;
free(cur);
cur = next;
}
pq->head = pq->tail = NULL;
}
void QueuePush(Queue* pq, QDataType x)
{
assert(pq);
QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
newnode->data = x;
newnode->next = NULL;
if (pq->head == NULL)
{
pq->head = pq->tail = newnode;
}
else
{
pq->tail->next = newnode;
pq->tail = newnode;
}
}
void QueuePop(Queue* pq)
{
assert(pq);
assert(!QueueEmpty(pq));
QNode* next = pq->head->next;
free(pq->head);
pq->head = next;
if (pq->head == NULL)
{
pq->tail = NULL;
}
}
QDataType QueueFront(Queue* pq)
{
assert(pq);
assert(!QueueEmpty(pq));
return pq->head->data;
}
QDataType QueueBack(Queue* pq)
{
assert(pq);
assert(!QueueEmpty(pq));
return pq->tail->data;
}
int QueueSize(Queue* pq)
{
assert(pq);
int n = 0;
QNode* cur = pq->head;
while (cur)
{
++n;
cur = cur->next;
}
return n;
}
bool QueueEmpty(Queue* pq)
{
assert(pq);
return pq->head == NULL;
}3、test.c
// test.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Queue.h"
typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
BTDataType data;
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;
//动态申请一个新节点
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{
BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
assert(newnode);
newnode->data = x;
newnode->left = NULL;
newnode->right = NULL;
return newnode;
}
// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi)
{
if (*pi >= n)
{
return NULL;
}
char ch = a[*pi];
(*pi)++;
if (ch == '#')
{
return NULL;
}
BTNode* newNode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
newNode->data = ch;
newNode->left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
newNode->right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
return newNode;
}
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
// 先判断当前访问的节点是否为空
if (root == NULL)
{
return 0;
}
// 当前节点不为空，它的左右孩子都为空，说明该节点是叶子节点
if (root->left == NULL && root->right == NULL)
{
return 1;
}
// 当前节点不为空，左右孩子不都为空，则继续往下遍历
return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
assert(k >= 1);
if (root == NULL) // 先判断当前访问的节点是否为空
{
return 0;
}
if (k == 1) // 当前节点不为空，而k已经减到1了，说明遍历到了第k层，说明该节点是第k层的
{
return 1;
}
// 还没有遍历到第k层，我们就继续往下遍历
return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
if (root == NULL) // 先判断当前访问的节点是否为空
{
return NULL;
}
if (root->data == x) // 判断要找的x值节点是不是当前节点
{
return root;
}
// 不是当前节点，则继续去该节点的左子树中找
BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
if (ret1)
{
return ret1;
}
// 还没找到，再继续去该节点的右子树中找
BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
if (ret2)
{
return ret2;
}
return NULL; // 当前节点及其左右子树中都没找到，返回NULL
}
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{
// 如果使用前中序遍历销毁，节点会先被销毁，变成随机值，就不知道它的左右子树位置了 所以采用后序遍历销毁
if (*root == NULL)
{
return;
}
BinaryTreeDestory(&((*root)->left));
BinaryTreeDestory(&((*root)->right));
free(*root);
*root = NULL; // 将根节点设置为NULL 防止野指针
}
// 二叉树前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) // 根->左子树->右子树
{
if (root == NULL)
{
printf("# "); // 用#代表NULL
return;
}
printf("%c ", root->data);
BinaryTreePrevOrder(root->left);
BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)// 左子树->根->右子树
{
if (root == NULL)
{
printf("# ");
return;
}
BinaryTreeInOrder(root->left);
printf("%c ", root->data);
BinaryTreeInOrder(root->right);
}
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) // 左子树->右子树->根
{
if (root == NULL)
{
printf("# ");
return;
}
BinaryTreePostOrder(root->left);
BinaryTreePostOrder(root->right);
printf("%c ", root->data);
}
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
if (root) // 树的根节点root不为空 将根节点入队列
{
QueuePush(&q, root);
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q); // 获取队列头部元素
printf("%c ", front->data); // 打印节点值
QueuePop(&q); // 出队列
// 如果当前树根的左右孩子不为空 则分别入队列
if (front->left)
{
QueuePush(&q, front->left);
}
if (front->right)
{
QueuePush(&q, front->right);
}
}
printf("\n");
QueueDestroy(&q);
}
// 判断二叉树是否是完全二叉树（利用层序遍历的思想来判断）
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
if (root) // 树的根节点root不为空 将根节点入队列
{
QueuePush(&q, root);
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q); // 获取队列头部元素
QueuePop(&q); //出队列
if (front)
{
// 不管当前树根的左右孩子是否为空，都分别入队列
QueuePush(&q, front->left);
QueuePush(&q, front->right);
}
else
{
break; //遇到空后，跳出层序遍历
}
}
// 如果后面全是空，则是完全二叉树，否则不是完全二叉树
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (front)
{
QueueDestroy(&q);
return false;
}
}
QueueDestroy(&q);
return true; // 出队的节点中，如果没有出现非空节点，说明是完全二叉树出队的节点中，如果没有出现非空节点，说明是完全二叉树
}
int main()
{
BTDataType a[] = { 'A', 'B', 'D', '#', '#', 'E', '#', 'H', '#', '#', 'C', 'F', '#', '#', 'G', '#', '#' };
int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]) - 1; // 减去末尾的'\0'
int pos = 0;
BTNode* root = BinaryTreeCreate(a, n, &pos); // 构建二叉树
printf("TreeSize:%d\n", BinaryTreeSize(root)); // 二叉树节点个数
printf("TreeLeafSize:%d\n", BinaryTreeLeafSize(root)); // 二叉树叶子节点个数
printf("Tree2LevelSize:%d\n", BinaryTreeLevelKSize(root, 2)); // 二叉树第k层节点个数
printf("TreeFindB:%p\n", BinaryTreeFind(root, 'B')); // 二叉树查找值为x的节点
// 前序遍历
BinaryTreePrevOrder(root);
printf("\n");
// 中序遍历
BinaryTreeInOrder(root);
printf("\n");
// 后序遍历
BinaryTreePostOrder(root);
printf("\n");
BinaryTreeLevelOrder(root); // 层序遍历
printf("TreeComplete:%d\n", BinaryTreeComplete(root)); // 判断二叉树是否是完全二叉树
BinaryTreeDestory(&root);// 二叉树销毁
printf("二叉树已销毁\n");
return 0;
}六、程序运行整体效果
